電気双極子場(初稿2008.11.23)

物理のかぎしっぽ数式掲示
http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=preview_pc
というややハイレベルなQ&A掲示板がある。ここに次の質問が寄せられた。
「問題」
電気双極子:微小区間dで並ぶ点電荷q-qの組。これはイオン結合性分子など分子の分極を表すモデルに使われる。
双極子モーメント:P=qdに比べて十分に遠方の点Pでの電位\phi(r)を求めなさい。
※答えは
\phi(\boldsymbol{r})=\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}
になるそうです。

次に電場を求めなさい。
※答えは
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{\boldsymbol{P}}{r^3}+\frac{3(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r^5}\right)
になるそうです。

続きを読む

弦を伝わる波の速さ

弦を伝わる波の速さは、弦の線密度を \rho、弦の張力を T とするとき、
 v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}
と書ける。一般的な証明は、弦の微小部分の運動方程式から波動方程式を導出し、x 方向に進行する平面波における媒質の変位が x \pm vt の関数であるべきことを用いれば、波動方程式に現れる係数  T/\rhov^2 に他ならないことを得る、というものである。しかし、2変数関数としての波動関数と、その2階微分方程式を考察するという、ハイレベルを要求される。一方、波とともに動く座標系にのって、観測される弦の運動を円運動で近似する証明方法がある。こちらはより簡明で、円運動の方程式といくらかの図形的な近似について知っていれば理解でき、高校物理のレベルで何とかなる。

続きを読む

曲面上の転がり速度について

半径 R の円筒面内側をすべりなく転がる半径 r \quad (r \lt R) の円板の転がり速度について、円板の角速度 \omega と円筒面の中心角に対する角速度 \Omega の間に次の関係が成立する。

 r(\omega+\Omega) = R\Omega

続きを読む

非弾性衝突を受けた連結系の運動

質量 M の質点に平面内を自由に回転できる同じ長さの2本の軽い棒をつけ、その先端にそれぞれ質量 m の質点を固定する。全体を直線状に伸ばしてなめらかな水平面上に置いた。図のように、質量 m の質点が中心質点に速さv_0で非弾性衝突して一体となった後、棒が回転して両端の質点が衝突するときの相対速さを求む。
f:id:yokkun831:20180324104356p:plain

続きを読む

バトンの弾性衝突

長さ 2r の軽い棒の両端に、質量 m の質点がついたバトンを、水平面から \theta だけ傾けた状態のまま自由落下させたところ、高さ h だけ落下して、なめらかで水平な床と完全弾性衝突してはねかえったとする。はねかえり後の運動を求める。
f:id:yokkun831:20180324100346p:plain

続きを読む