2019-03-20

多質点系の運動エネルギー（３）

相対運動

まとめにかかる。まずは、 $n$ 質点系の運動エネルギーの総和が、重心の運動エネルギーと重心に対する相対運動エネルギーの和
$T = \displaystyle\frac{1}{2} M{\dot{\boldsymbol{R}}}^2+\frac{1}{2}\sum_i m_i{\dot{\boldsymbol{r}_i}^\prime}^2$
で表されること。

2019-03-19

多質点系の運動エネルギー（２）

相対運動

$n$ 質点系への拡張。
$T = \displaystyle\frac{1}{2} M{\boldsymbol{V}_{\rm G}}^2 + \frac{1}{2}\sum_{i\lt j}\frac{m_im_j}{M}(\dot{\boldsymbol{r}_i}-\dot{\boldsymbol{r}_j})^2$
　　　　　　　　　ただし、 $M=\displaystyle\sum_i m_i$ ,　　 $\boldsymbol{V}_{\rm G}=\displaystyle\frac{\sum_i m_i \dot{\boldsymbol{r}_i}}{M}$

2019-03-19

多質点系の運動エネルギー

相対運動

いずれ一般論を展開したいが、ひとまず３質点系の運動エネルギーは
$T = \displaystyle\frac{1}{2} M{V_{\rm G}}^2 + \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{M}{V_{12}}^2 + \frac{1}{2}\frac{m_2m_3}{M}{V_{23}}^2 + \frac{1}{2}\frac{m_3m_1}{M}{V_{31}}^2$

ただし、 $M=m_1+m_2+m_3$ ,　 $\boldsymbol{V}_{\rm G}=\displaystyle\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}_1}+m_2\dot{\boldsymbol{r}_2}+m_3\dot{\boldsymbol{r}_3}}{M}$
$\boldsymbol{V}_{ij} = \dot{\boldsymbol{r}_i} - \dot{\boldsymbol{r}_j}$

に相違ないことを確認する。

2019-03-18

棒でつながれた質点系の運動

円運動勘違いに学ぶかんちがいに学ぶ力学

棒でつながれた質点系。なぜ円運動の方程式を使えるのか？　Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1187616916　より。
【問題】
なめらかな水平面上に，質量 $M$ の質点と質量 $m$ の2つの質点を軽くて伸び縮みしない長さ $l$ の棒でつないだものが置いてある。棒は接合部で自由に回転できるものとする。初期状態で質点は図のように一直線をなしている。真ん中の質点 $M$ に図のように右方向の初速度 $V_0$ を与えた。この直後の質点 $m$ が棒から受ける力の大きさはいくらか。

2019-03-18

流星群の衝突

中心力場

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1091929910　より。万有引力（中心力）下の運動に関する基本的な問題である。
【問題】
地球中心を原点としてある方向に $x$ 軸をとる。無限遠から十分広範囲に分布した隕石群が $-x$ 方向に速さ $v_0$ で接近してくるとする。これらの隕石群のうち地球に落下する範囲を $x$ 軸からの距離で答えよ。ただし，地球質量を $M$ ，地球半径を $R$ ，万有引力定数を $G$ とし，隕石相互や他の天体による引力は考えないものとする。
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横一列で地球に接近する流星群