最近、固定座標軸2軸まわりの回転による位置ベクトルの移動を考察した。 位置ベクトルの2軸回転 - 科学のおもちゃ箱@Hatena与えられた位置ベクトルを任意の位置に回転させるには、回転軸を任意に取れるならば本来1軸まわりの回転ですむ。回転軸は元ベクトル …

位置ベクトル を の2軸まわりの回転3回で に移すことを考える。まず、 成分のみのベクトル を任意の位置ベクトル に移す操作を見出そう。

ほとんど自明のことだが，「速さの時間微分と加速度の大きさ」は異なるという話。3次元における質点の一般の運動において，速 度：加速度：とおけば，速さの時間微分はこれが加速度の大きさ に一致するのは，すなわち， と の方向が常に一致する場合，つまり…

物理のかぎしっぽ-物理数学-合成関数の微分への利用（現在ページはリンクが切れている）の練習問題(18)に微分演算子とベクトルの直積が出てくる。 という記述はなれないといささか気持ちが悪いので，直積の記号「」を用いて と書けば紛れがないかもしれない…

曲線座標の計量テンソルを ，その行列式を とすれば，共変微分を用いてと表せる。ここに，公式を用いると，となる。曲線座標におけるラプラシアンを求める簡明な公式といえる。===================================================上の結果を，極座標 に適…

たまたま同僚と話題になったこと。０の０乗は何だろうかという話。数学的に厳密な話をするつもりはない。まず，である。しからば，公平に の極限はというと…するとやはり０の０乗は１なのか？ 便宜上１とする場合もあるらしい。Wikipediaでは，２変数関数の…

万有引力を及ぼしあう 個の天体系において，特定の天体が受ける力の記述。ポテンシャルエネルギーと力をつなぐ計算だから，決して難しい問題ではないが，エレガントに記述するには工夫がいる。【問題】万有引力を及ぼしあう 個の天体系において， 番目の天体…

安定を無視し，単に力のつりあい条件のみで「静止」を語る悪問が後を絶たない。現実にありえない状態を問題にするのはいかがなものか？【問題】３つの点電荷 が一直線上に等間隔に並んで静止している。 [C] として を求めよ。【解答】 が受ける力のつりあい…

質点系の角運動量が，重心運動の角運動量と重心まわりの相対運動の角運動量の和として表されること。慣性モーメントに関する「平行軸の定理」の根拠でもある。 番目の質点の質量を ，位置を とすると，総質量と重心位置は，である。重心運動と相対運動の角運…

久しぶりに，「目からウロコ」の教育的示唆に富む問題に出会った。 の累乗に比例する中心引力下で質点が円運動をするとき，そのまわりの微小振動に関する問題。【問題】質量 の粒子が,中心力ポテンシャルの下で原点を中心とする半径 の円軌道を描いて運動し…

質点系の運動エネルギーが，重心運動のエネルギーと相対運動のエネルギーに分離できることの証明。 質点系への一般化は面倒だと思いましたが，すっきりまとまりました。 番目の質点の質量を ，位置ベクトル ，速度ベクトル とする。 すなわち， 以下，２乗を…

【問題】 雲層の中で水滴が落下しながら成長する。初期半径 μm の水滴が500m落下したときの半径はおよそいくらか。ただし、雲層内の雲水量は [kg/m³] で一定とし、雲層内の上昇流は水滴の落下速度に比べて十分小さく、水滴の半径 の時間成長率はで与えられる…

【問題】 あるゴムボールが反発係数１で永久に床面を弾んでいるとする。最大高さを 、高さを （）として、 に対する存在確率密度を求めよ。 【解答】 高さ における速さ とすると力学的エネルギー保存により上昇の片道に対してとなり、～ に対する滞在時間を…

久しぶりに刺激的でおもしろい問題に出会った。 【問題】 固定されたなめらかな円筒に軽くて伸びない糸を 回巻きつけ、一端に質点Pをつないで、他端を一定の速さ で引く。初め、円筒に巻きついていない部分の糸は 軸と平行になっている。Pは速さ で円筒に近…

いかにも面倒な座標変換における基底（座標方向の単位ベクトル）の変換。より直感を重視する図形的導出と、マニュアル的にすませる座標変換からの計算を並べて整理してみよう。 座標としてはデカルト座標から球座標への変換を例に考察する。

なかなか巧妙に仕組まれた問題。 【問題】 任意の定ベクトル 位置ベクトルを また非保存力を、 とする。 平面上()で、原点中心に半径 の円に沿って反時計回りに一周するとき、 がする仕事 を求めよ。

惑星の軌道方程式 の積分定数である を用いてエネルギーを記述し、エネルギー保存から運動において がとり得る範囲を求む。

中心力とは、大きさが距離のみに依存し、方向が動径方向（中心に向かうまたは中心から離れる方向）であるような力です。したがって、 と書けます。保存力の条件は ですから、これを証明すればよいわけです。

線形代数の基礎的な事項とはいえ，学生時代に勉強しなかったために，その意義が見出せぬまま「わけわからん！」状態で現在に至っていましたが，ようやくわかってきた気がします。要するに座標の2次形式の「積の項」を座標の回転でなくすことに相当するわけで…

OKWaveのQ&Aから。質量が無視できないばねを鉛直につるした場合の伸びについて。 水平にした時の自然長Ｌ、バネ定数ｋの２つのバネＡ，Ｂがあって、Ａは質量| OKWAVE無視できない質量 を持つ，ばね定数 のつるまきばねを鉛直につるしたときの，自重による伸…

金星の光度変化に対して、単純化したモデルを考察してみた。

ある力が保存力である条件は，力のベクトル場の回転がゼロであること。

【問題】 長さ の軽い棒が4本回転軸で連結され、上下の回転軸に 、左右の回転軸に の電荷が固定されている。棒と電荷はなめらかな水平面上を自由に動くことができるとする。安定な平衡にあるときの角 を求めよ。

軌道の微分方程式を積分して，軌道方程式を得る。

極座標による運動方程式から，軌道の微分方程式までを追う。

「万有引力の法則」を力の法則として含む運動方程式から，惑星の楕円軌道を導く過程はなかなか難しいと思っていたが，何とか一から自分で展開できる範囲であるように思えたので，整理してみた。

Yahoo!知恵袋から。回答しかけたら質問者が削除してしまった。ちょっとドキッとした問題。 【問題】 図のようになめらかな棒を鉛直な壁に対しての角度で立てかけて，手を離したとき，棒が壁から離れるときの壁に対する角度を求めよ。 第１回答者は，「棒は壁…

物理の基本法則はなぜ積分形ではなく微分形として記述されるのか、という根源的な問題。 Yahoo! 知恵袋＞ https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13204984188

人にわかりやすく説明を試みることは，自分の理解を大いに深めることができるチャンス。その見本のようなＱ＆Ａ。質問は， 極性ベクトルは空間反転に関して符号を変える（向きが変わらない） 軸性ベクトルは空間反転に関して符号を変えない（向きが変わる） …

物理のかぎしっぽ掲示板より。との違いを見極める。