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4元加速度と3次元加速度の関係

@wikiTex数式の表示がおかしくなって久しい。こちらで何とか読みやすい数式が得られそうなので、アーカイブをこちらにつくってみようか考えている。

http://okwave.jp/qa/q7847798.htmlより。4元加速度と3次元加速度の関係を導出する。(初稿2012/12/17)


4元速度は

\displaystyle\frac{dx^i}{d\tau} = \gamma\frac{dx^i}{dt} = \gamma v^i \quad , \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \quad , \quad \beta = \frac{v}{c}

したがって,4元加速度は

\displaystyle\frac{d^2x^i}{d\tau^2} = \gamma\frac{d(\gamma v^i)}{dt} = \gamma\frac{d\gamma}{dt}v^i + \gamma^2\frac{dv^i}{dt}

ここで,

\displaystyle\frac{d\gamma}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{\gamma^3v}{c^2}\frac{dv}{dt} = \frac{\gamma^3}{c^2}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}

なお,最右辺は

v = \sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}

を考慮した結果で,3次元速度および加速度を \boldsymbol{v},\boldsymbol{a} とした。

結局,3次元位置ベクトル \boldsymbol{r} として

\displaystyle\frac{d^2\boldsymbol{r}}{d\tau^2} = \frac{\gamma^4}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}) \boldsymbol{v} + \gamma^2\boldsymbol{a}

を得る。