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電磁場テンソルのローレンツ変換

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1098597580への回答をきっかけに電磁場テンソルローレンツ変換について整理しておく。(初稿2012/12/13)


相対性理論によって,電場と磁場は時空のテンソル場として名実ともに統一されることとなった。

{\sf F} = \left(\begin{array}{cc} 0 \quad -\boldsymbol{E}/c \\ \boldsymbol{E}/c \quad -*\boldsymbol{B} \end{array}\right)

*\boldsymbol{B}は,磁場の反対称テンソル形式である。すなわち,

{\sf F} = \left(\begin{array}{cccc} \quad 0\quad -E_x/c \quad -E_y/c \quad -E_z/c \\ E_x/c \qquad 0 \qquad -B_z \qquad B_y \\ E_y/c \qquad B_z \qquad 0 \qquad -B_x \\ E_z/c \quad -B_y \qquad B_x \qquad 0 \end{array}\right)

ローレンツ変換

{\sf L} = \left(\begin{array}{cc} \gamma \qquad \qquad -\gamma\boldsymbol{\beta} \\ -\gamma\boldsymbol{\beta} \qquad \boldsymbol{1}+\displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\boldsymbol{\beta}\circ\boldsymbol{\beta}\end{array}\right)

すなわち,

{\sf L} = \left(\begin{array}{cccc} \gamma \qquad \qquad -\gamma\beta_x \qquad \quad -\gamma\beta_y \qquad \quad -\gamma\beta_z \\ -\gamma\beta_x \quad 1 + \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_x\beta_x \quad \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_x\beta_y \quad \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_x\beta_z \\  -\gamma\beta_y \quad \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_y\beta_x \quad 1+\displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_y\beta_y \quad \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_y\beta_z  \\  -\gamma\beta_z \quad \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_z\beta_x \quad \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_z\beta_y \quad 1 + \displaystyle\frac{\gamma^2}{1+\gamma}\beta_z\beta_z  \end{array}\right)

である。
電磁場テンソルの変換は,

{\sf F}^\prime = {\sf L}{\sf F}{\sf L}

によって得られる。電場と磁場を個別に示せば,

\boldsymbol{E}^\prime = \gamma\left[\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}-\displaystyle\frac{\gamma}{\gamma+1}(\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{E})\boldsymbol{\beta}\right]

\boldsymbol{B}^\prime = \gamma\left[\boldsymbol{B}-\boldsymbol{\beta}\times\boldsymbol{E}/c-\displaystyle\frac{\gamma}{\gamma+1}(\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{\beta}\right]

となる。


ごく簡単な場合への応用。

\boldsymbol{E}=(0,0,0)\quad , \quad \boldsymbol{B}=(0,0,B) ,\boldsymbol{\beta}=(\beta,0,0) の場合,

{\sf F} = \left(\begin{array}{cccc}  0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad 0 \\ 0 \qquad 0 \quad -B \qquad 0 \\ 0 \quad B \qquad 0 \qquad 0 \\ 0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad 0 \end{array}\right)

{\sf L} = \left(\begin{array}{cccc} \gamma \quad -\gamma\beta \quad 0 \qquad 0 \\ -\gamma\beta \quad \gamma \qquad 0 \qquad 0 \\ 0 \qquad 0 \qquad 1 \qquad 0 \\ 0 \qquad 0 \qquad 0 \qquad 1 \end{array}\right)

{\sf F}^\prime = {\sf L}{\sf F}{\sf L} = \left(\begin{array}{cccc} 0 \qquad \qquad 0 \qquad  \gamma\beta B \quad 0 \\ 0 \qquad \qquad 0 \quad -\gamma B \qquad 0 \\ -\gamma\beta B \qquad \gamma B \qquad 0 \qquad 0 \\ 0 \qquad \qquad 0 \qquad 0 \qquad 0 \end{array}\right)

すなわち,

\boldsymbol{E}^\prime = (0,-\gamma vB,0)

\boldsymbol{B}^\prime = (0,0,\gamma B)

を得る。運動する荷電粒子とともに動く座標系では,誘導電場が現れて,粒子が狭義のローレンツ力を受けることを示している。