相対論における運動エネルギー - 科学のおもちゃ箱@Hatena

ニュートン力学で $mv^2/2$ である運動エネルギーが，相対論で ${\it\Delta}mc^2$ となるわけ。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1155787081より。（初稿2011/02/28）

なるべくギャップがない形でニュートン力学の運動エネルギーからの修正を試みようと思う。

まず，運動物体の時間のおくれのために，運動方程式が次のように修正を受ける。簡単のため，１次元運動で考えよう。

$m \displaystyle\frac{dv}{dt} = F \quad\rightarrow\quad m \frac{d}{dt}\left(\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) = F$

そもそも運動エネルギーは，仕事をされた分増加するので，ニュートン力学では，

$K = \displaystyle\int F\cdot dx = \int m \displaystyle\frac{dv}{dt}dx = m\int \frac{dx}{dt}dv = m\int_0^v vdv = \frac{1}{2}mv^2$

となる。すると，同様に相対論では，

$K = \displaystyle\int F\cdot dx = \int m \displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)dx$

　 $= m\displaystyle\int\frac{dx}{dt}d\left(\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)$

　 $= m\displaystyle\int_0^v v\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{v^2}{c^2(1-v^2/c^2)^{3/2} }\right) dv$

　 $= \displaystyle\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - mc^2$

　 $= \left( \displaystyle\frac{m}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - m \right) c^2$

となる。この（　　）の中を質量の増加のように見なして ${\it\Delta}m$ と書くと，

$K = {\it\Delta}mc^2$

となるわけである。

$E = mc^2$

（静止エネルギーという）は有名な式であるが，このエネルギーが運動のために増加した分，すなわち ${\it\Delta}mc^2$ が運動エネルギーであるという解釈ができる。