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相対論における運動エネルギー

ニュートン力学mv^2/2である運動エネルギーが,相対論で{\it\Delta}mc^2となるわけ。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1155787081より。(初稿2011/02/28)


なるべくギャップがない形でニュートン力学の運動エネルギーからの修正を試みようと思う。

まず,運動物体の時間のおくれのために,運動方程式が次のように修正を受ける。簡単のため,1次元運動で考えよう。

m \displaystyle\frac{dv}{dt} = F \quad\rightarrow\quad m \frac{d}{dt}\left(\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) = F

そもそも運動エネルギーは,仕事をされた分増加するので,ニュートン力学では,

K = \int F\cdot dx = \int m \displaystyle\frac{dv}{dt}dx = m\int \frac{dx}{dt}dv = m\int_0^v vdv = \frac{1}{2}mv^2

となる。すると,同様に相対論では,

K = \int F\cdot dx = \int m \displaystyle\frac{d}{dt}\left(\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)dx

  = m\int \displaystyle\frac{dx}{dt}d\left(\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)

  = m\int_0^v v\left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{v^2}{c^2(1-v^2/c^2)^{3/2} }\right) dv

  = \displaystyle\frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - mc^2

  = \left( \displaystyle\frac{m}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - m \right) c^2

となる。この(  )の中を質量の増加のように見なして{\it\Delta}mと書くと,

K = {\it\Delta}mc^2

となるわけである。

E = mc^2

(静止エネルギーという)は有名な式であるが,このエネルギーが運動のために増加した分,すなわち{\it\Delta}mc^2が運動エネルギーであるという解釈ができる。