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波動のローレンツ変換

http://okwave.jp/qa/q6465535.htmlでおもしろい問題をみつけた。波動の式をローレンツ変換すると,時間の遅れを含むドップラー効果と速度合成則が一度に出てくる。(初稿2011/01/22)


【問題】(一部改題)

{\rm S}-系において,

y = A \sin 2\pi\nu\left(t - \displaystyle\frac{x}{v}\right)

で表される,x方向に進行する波がある。これを{\rm S}-系に対してx方向に相対速度uをもつ{\rm S}^\prime-系で観測する場合,振動数\nu^\prime,伝搬速度v^\primeはどう変換されるか。

【解答】

ローレンツ変換

x = \gamma(x^\prime + ut^\prime)

t = \gamma\left(t^\prime + \displaystyle\frac{u}{c^2}x^\prime\right)\quad,\quad\gamma=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}

により,

y = A \sin 2\pi\nu\left(t - \displaystyle\frac{x}{v}\right)

 = A \sin2\pi\nu\left\{\gamma\left(t^\prime + \displaystyle\frac{u}{c^2}x^\prime\right) -\displaystyle\frac{\gamma}{v}(x^\prime + ut^\prime) \right\}

 = A\sin 2\pi\nu\gamma\left\{\left(1-\displaystyle\frac{u}{v}\right)t^\prime - \left(1 - \displaystyle\frac{uv}{c^2}\right)\displaystyle\frac{x^\prime}{v}\right\}

 = A\sin 2\pi\nu\gamma\left(1-\displaystyle\frac{u}{v}\right)\left(t^\prime - \displaystyle\frac{1-uv/c^2}{v-u}x^\prime\right)

となる。これを

y^\prime = A\sin 2\pi\nu^\prime\left(t^\prime - \displaystyle\frac{x^\prime}{v^\prime}\right)

と比較すると,

\nu^\prime = \gamma\displaystyle\frac{v-u}{v}\nu

v^\prime = \displaystyle\frac{v-u}{1-uv/c^2}

を得る。\nu^\prime\gamma因子は時間の遅れにともなう相対論的効果,第2因子はドップラー効果を意味する。また,v^\primeは速度の合成則そのものである。