反対称テンソルをLevi-Civita記号と成分で展開する。http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=27787&mode2=preview_pcより。(初稿2010/11/18)
2次元2階の反対称テンソルは,
と書ける。ただし,2次元レビ・チビタ記号は,
これは,簡単で書き換えにもならない。これを4次元に拡張したいというのが質問の意図。
一般に2階テンソルは,次のように対称部分と反対称部分とに分けることができる。
したがって,が反対称テンソルであれば,
と書ける。
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まずは,3次元。3次元レビ・チビタ記号を,
と定義すると,積の縮約に関する関係
を用いれば,
と書けることになる。縮約をあらわに実行すれば,
または,行列表示で右上三角成分を選べば,
となる。
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いよいよ4次元。4次元レビ・チビタ記号は,
ただし,相対論では下付き添字の方は符号を逆に定義するので注意。
積の縮約に関する関係
を用いれば,
と書けることになる。縮約をあらわに実行すれば,
となる。結果を見てしまえばほとんど自明と思えるが,導出となると結構悩む。