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パップス-ギュルダンの定理

下記はWikipediaより

「平面上にある図形Fの面積をSとし,Fと同じ平面上にありFを通らない軸Lの回りで Fを一回転させた回転体の体積をVとする。回転させる図形Fの重心Gから回転軸Lまでの距離をRとしたとき、次式が成り立つ。
V=2\pi RS
この式は、
( 回転体の体積V) = (回転による図形Fの重心Gの軌跡の長さ)×(図形Fの面積S)
と解釈することができる。」


たとえば,半円の重心の位置を,円の中心からx_Gとすると,重心の定義から

x_G = \displaystyle\frac{\int_0^r \rho\cdot 2y\cdot x dx}{m} = \frac{2\rho}{m} \int_0^{\frac{\pi}{2}}r\sin\theta\cdot r\cos\theta \cdot (-r\sin\theta) d\theta
   = \displaystyle\frac{4r}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin^2\theta\cos\theta d\theta=\frac{4r}{\pi}\int_0^1u^2du=\frac{4r}{3\pi}
ただし,\rhoは面密度であり,
\rho=\displaystyle\frac{m}{\pi r^2/2}

…となるわけだが,上の定理を使えば,半円を直径を軸として回転させてできるのが
球であるから,

\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 = 2\pi x_G \cdot\frac{1}{2}\pi r^2
から,ただちに
x_G = \displaystyle\frac{4r}{3\pi}

を得るというわけだ。なるほど,これは便利。