パップス－ギュルダンの定理

物理数学 静力学

下記はWikipediaより

「平面上にある図形Fの面積をSとし，Fと同じ平面上にありFを通らない軸Lの回りで Fを一回転させた回転体の体積をVとする。回転させる図形Fの重心Gから回転軸Lまでの距離をRとしたとき、次式が成り立つ。
V=2\pi RS
この式は、
( 回転体の体積V) = (回転による図形Fの重心Gの軌跡の長さ)×(図形Fの面積S)
と解釈することができる。」


たとえば，半円の重心の位置を，円の中心からx_Gとすると，重心の定義から

x_G = \displaystyle\frac{\int_0^r \rho\cdot 2y\cdot x dx}{m} = \frac{2\rho}{m} \int_0^{\frac{\pi}{2}}r\sin\theta\cdot r\cos\theta \cdot (-r\sin\theta) d\theta
　　　= \displaystyle\frac{4r}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin^2\theta\cos\theta d\theta=\frac{4r}{\pi}\int_0^1u^2du=\frac{4r}{3\pi}
ただし，\rhoは面密度であり，
\rho=\displaystyle\frac{m}{\pi r^2/2}

…となるわけだが，上の定理を使えば，半円を直径を軸として回転させてできるのが
球であるから，

\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 = 2\pi x_G \cdot\frac{1}{2}\pi r^2
から，ただちに
x_G = \displaystyle\frac{4r}{3\pi}

を得るというわけだ。なるほど，これは便利。