科学のおもちゃ箱@Hatena

粒子の崩壊と寿命

物理数学原子・原子核勘違いに学ぶ

原子核や素粒子の崩壊と平均寿命の関係について整理してみる。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1283622002のQ&Aをきっかけに自己の認識の中にあった穴を埋めることができた。

粒子の崩壊は，純粋な意味で確率的な過程であることが知られている。したがって，その崩壊を支配する微分方程式は，

$\displaystyle\frac{dN}{N} = -\lambda dt$

と書ける。 $N$ は残存粒子数であり $\lambda$ は崩壊定数と呼ばれる。積分すると，

$N = N_0 e^{-\lambda t} = N_0 e^{-t/\tau}$

を得る。 $\tau = 1/\lambda$ は寿命と呼ばれ，崩壊までの平均時間を表す。

以上はポピュラーな粒子崩壊の数学であるが，寿命＝崩壊までの「平均時間」という理解に穴があったので，それを埋める考察をしてみた。

時刻 $t$ から $t+dt$ までの間に崩壊する粒子に対する年齢の和は， $t|dN|$ であるから，崩壊までの平均時間は

$\displaystyle\frac{\int t|dN|}{N_0} = \frac{1}{\tau}\int_0^\infty t e^{-t/\tau} dt$

$= \displaystyle\frac{1}{\tau}\left(\Big[-t\tau e^{-t/\tau}\Big]_0^\infty + \tau\int_0^\infty e^{-t/\tau} dt\right)$

$= \int_0^\infty e^{-t/\tau}dt = \Big[-\tau e^{-t/\tau}\Big]_0^\infty = \tau$

となる。寿命は単に残存粒子数が $1/e$ に減少する時間，などという半端な意味ではなく，まさに平均寿命なのである。ちなみに，寿命は $t-N$ グラフの面積を $N_0$ で割ったものとなるから，通常描かれる崩壊のグラフを縦横ひっくりかえしたものの「平均値」となるわけだ。

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陽子の寿命が $10^{33}$ 年ならば、 $10^{33}$ の陽子を集めれば1年に1個の陽子の崩壊が観測できることになる。（Wikipediaより）

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こわれる粒子数は，

$N_0 - N = N_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$

$|x|\ll 1$ のとき，

$e^x \simeq 1 + x$

したがって，時間経過が寿命 $\tau$ より十分小さければ

$N_0 - N = N_0\times\displaystyle\frac{t}{\tau}$

$N_0=10^{33}, t=1{\rm y}, \tau=10^{33}{\rm y}$ を代入すると，

$N_0 - N = 1$

となるわけだ。