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第1宇宙速度による投射

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1496987909の質問にヒントを得て,第1宇宙速度による斜方投射の着地点について考察してみた。(初稿2012/11/24)

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【問題】
第1宇宙速度によって地表から仰角\thetaで発射された物体の着地点は,発射点からの地球中心角で\pi-2\thetaの地点になることを証明せよ。ただし,空気抵抗や地球の自転の影響は無視できるものとする。

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【解答】
第1宇宙速度は,

V = \sqrt{\displaystyle\frac{GM}{R}}
ただし,G万有引力定数,M:地球質量,R:地球半径

である。軌道の遠地点および近地点(地球内部)の距離をr,そこでの速さをvとすると,エネルギー保存により

\displaystyle\frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}

また,角運動量保存(面積速度一定)により

RV\cos\theta = rv

両式よりvを消去するとrに関する2次方程式を得る。

r^2 - 2Rr + R^2\cos^2\theta = 0

これを解くと遠地点・近地点距離

r = R(1\pm\sin\theta)

を得る。結果として,エネルギーが決まれば長半径は決まり,この問題では軌道長半径はRに等しいことがわかる。

http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=584&file=%E7%AC%AC%EF%BC%91%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%80%9F%E5%BA%A6%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E6%8A%95%E5%B0%843.bmp



図を見ればわかるように,発射点及び着地点は軌道上で焦点からの距離が長半径に等しい点だから,楕円軌道の短軸の両端になることは明らかである。つまり,両地点は楕円軌道を2等分する。したがって,発射速度と着地速度は平行になる。あとは簡単な図形問題。

2\alpha = \pi - 2\theta

はただちに得られる。

http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=583&file=%E7%AC%AC%EF%BC%91%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%80%9F%E5%BA%A6%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E6%8A%95%E5%B0%842.bmp

Algodooによるシミュレーション