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母星質量が突然半減したときの惑星軌道

恒星の質量が突然半分に減少したとき,円軌道を公転していた惑星は放物線軌道に乗ることを証明する。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1174937711より。(初稿2011/11/08)


恒星質量M,惑星質量m万有引力定数G
円軌道半径a,軌道速度vとする。

円運動の方程式より

\displaystyle\frac{mv^2}{a} = \frac{GMm}{a^2}

\therefore \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2a}\quad,v = \sqrt{\frac{GM}{a}}

したがって,力学的エネルギーは

E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{2a} = 0

vは第2宇宙速度であり放物線軌道になることは知られていますが,計算してみましょう。
極座標(r,\theta)を用います。

エネルギー保存

\displaystyle\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2 + r^2{\dot{\theta}}^2) - \frac{GMm}{2r} = 0

角運動量保存

mr^2\dot{\theta} = mav

\therefore \dot{\theta} = \displaystyle\frac{av}{r^2} = \frac{\sqrt{GMa}}{r^2}

\therefore \dot{r} = \sqrt{ GM \left(\displaystyle\frac{1}{r} - \frac{a}{r^2}\right) }

したがって

\displaystyle\frac{dr}{d\theta} = \frac{\dot{r}}{\dot{\theta}} = r\sqrt{\frac{r}{a} - 1}

\tan u = \sqrt{r/a - 1} とおくと,

\theta = \int_0^r\displaystyle\frac{dr}{r\sqrt{r/a - 1}} = 2u

\therefore \tan\displaystyle\frac{\theta}{2} = \sqrt{r/a - 1}

すなわち,

r = \displaystyle\frac{2a}{1 + \cos\theta}

最後の式は極座標による放物線の式になっています。

http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=528&file=Circle-to-Parabola.bmp
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