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母星質量が突然半減したときの惑星軌道

中心力場

恒星の質量が突然半分に減少したとき，円軌道を公転していた惑星は放物線軌道に乗ることを証明する。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1174937711より。（初稿2011/11/08）

恒星質量 $M$ ，惑星質量 $m$ ，万有引力定数 $G$
円軌道半径 $a$ ，軌道速度 $v$ とする。

円運動の方程式より

$\displaystyle\frac{mv^2}{a} = \frac{GMm}{a^2}$

$\therefore \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2a}\quad,v = \sqrt{\frac{GM}{a}}$

したがって，力学的エネルギーは

$E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{2a} = 0$

$v$ は第２宇宙速度であり放物線軌道になることは知られていますが，計算してみましょう。
極座標 $(r,\theta)$ を用います。

エネルギー保存

$\displaystyle\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2 + r^2{\dot{\theta}}^2) - \frac{GMm}{2r} = 0$

角運動量保存

$mr^2\dot{\theta} = mav$

$\therefore \dot{\theta} = \displaystyle\frac{av}{r^2} = \frac{\sqrt{GMa}}{r^2}$

$\therefore \dot{r} = \sqrt{ GM \left(\displaystyle\frac{1}{r} - \frac{a}{r^2}\right) }$

したがって

$\displaystyle\frac{dr}{d\theta} = \frac{\dot{r}}{\dot{\theta}} = r\sqrt{\frac{r}{a} - 1}$

$\tan u = \sqrt{r/a - 1}$ とおくと，

$\theta = \int_0^r\displaystyle\frac{dr}{r\sqrt{r/a - 1}} = 2u$

$\therefore \tan\displaystyle\frac{\theta}{2} = \sqrt{r/a - 1}$

すなわち，

$r = \displaystyle\frac{2a}{1 + \cos\theta}$

最後の式は極座標による放物線の式になっています。

Algodooシミュレーション