極座標系の速度・加速度

運動方程式の平面極座標形式に関する覚え書き。


極座標系の基底の時間微分

\dot{\boldsymbol{e}_r} = \dot{\phi}\boldsymbol{e}_\phi \quad, \qquad \dot{\boldsymbol{e}_\phi} = -\dot{\phi}\boldsymbol{e}_r

となることは,ほぼ自明。

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位置ベクトル

\boldsymbol{r} = r \boldsymbol{e}_r

に対して,速度および加速度は,

\dot{\boldsymbol{r}} = \dot{r}\boldsymbol{e}_r + r\dot{\boldsymbol{e}_r} = \dot{r}\boldsymbol{e}_r +r\dot{\phi}\boldsymbol{e}_\phi

\ddot{\boldsymbol{r}} = \ddot{r}\boldsymbol{e}_r + \dot{r}\dot{\boldsymbol{e}_r} + \dot{r}\dot{\phi}\boldsymbol{e}_\phi + r\ddot{\phi}\boldsymbol{e}_\phi + r\dot{\phi}\dot{\boldsymbol{e}_\phi} = (\ddot{r} - r{\dot{\phi}}^2)\boldsymbol{e}_r + (2\dot{r}\dot{\phi} + r\ddot{\phi})\boldsymbol{e}_\phi
  = (\ddot{r} - r{\dot{\phi}}^2)\boldsymbol{e}_r + \displaystyle\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\phi})\boldsymbol{e}_\phi

たとえば,惑星が原点にある太陽から受ける万有引力は,

\boldsymbol{f} = -G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\boldsymbol{e}_r

であるから,公転の運動方程式の動径方向成分は,

m(\ddot{r} - r{\dot{\phi}}^2) = -G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}

また,方位角方向成分は角運動量保存(面積速度一定)を示す。

\displaystyle\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\phi}) = 0

これによって,角運動量保存は中心力でさえあれば成立することが自明である。