球座標基底への変換

直交座標から球座標への基底(基本単位ベクトル)の変換。
今、カンニングなしで操れる範囲で解いてみた。
座標変換
x = r \sin\theta \cos\phi
y = r\sin\theta \sin\phi
z = r\cos\theta

\boldsymbol{r} = r \boldsymbol{e}_r = x \boldsymbol{e}_x + y \boldsymbol{e}_y + z \boldsymbol{e}_z
\therefore \boldsymbol{e}_r = \sin\theta \cos\phi \boldsymbol{e}_x + \sin\theta \sin\phi \boldsymbol{e}_y + \cos\theta \boldsymbol{e}_z

d\boldsymbol{e}_r = d\theta \boldsymbol{e}_\theta + \sin\theta d\phi \boldsymbol{e}_\phi
\boldsymbol{e}_\theta = \displaystyle\frac{d\boldsymbol{e}_r}{d\theta} = \cos\theta \cos\phi \boldsymbol{e}_x + \cos\theta \sin\phi \boldsymbol{e}_y - \sin\theta \boldsymbol{e}_z
\boldsymbol{e}_\phi =\displaystyle \frac{1}{\sin\theta} \frac{d\boldsymbol{e}_r}{d\phi}  = -\sin\phi \boldsymbol{e}_x +  \cos\phi \boldsymbol{e}_y