ロケット推進における運動エネルギーの増加

ロケット推進において、加速しても減速してもロケットとガスの運動エネルギーの総和は増加する。減速するときは果たして?と心配になるが、燃料の化学エネルギーの一部が燃焼によって運動エネルギーとして解放されているのだから、自明ともいえる。このことを、運動量保存から検証してみた。以下の展開の前半は、ツィオルコフスキーのロケット方程式の導出と同じである。
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質量M、速度Vのロケットが、質量{\it\Delta} Mのガスに相対速度-uを与えて噴射して、速度がV+{\it\Delta} Vになったとすると、

運動量保存
MV = (M-{\it\Delta} M)(V+{\it\Delta} V) + {\it\Delta} M(V-u)

{\it\Delta} M{\it\Delta} Vを微小量として、2次項を省いて整理すると、
M{\it\Delta} V = u{\it\Delta} M
{\it\Delta} dとして積分するとツィオルコフスキーの公式にいたる。

このとき、運動エネルギーの変化は、
{\it\Delta} K = \displaystyle \frac{1}{2} (M-{\it\Delta} M)(V+{\it\Delta} V)^2 + \displaystyle \frac{1}{2} {\it\Delta} M (V-u)^2 - \displaystyle \frac{1}{2}  MV^2
2次以上の微小項を省いて整理し、\it{\Delta} V=\it{\Delta} Mu/Mを適用すると、
{\it\Delta} K =  \displaystyle \frac{1}{2} {\it\Delta} Mu^2 \gt 0
となる。結果的にロケット座標系で見た、ガスに与えられた運動エネルギーに等しく、これが燃料から得られているわけだ。

減速の場面では、{\it\Delta} V=-{\it\Delta} Mu/M , -u → +uとすればよく、結果は同じとなる。