回転する棒上のリングの運動

一端を回転軸で固定された十分に長いまっすぐな棒が、平面内を一定の角速度 \omega で回転している。棒に沿って摩擦なく動くことのできるリングが差し込まれており、回転軸から r_0 の位置で半径方向の初速ゼロで放されたとする。その後のリングの運動を解析する。
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半径方向の運動方程式は、
 m \ddot{r} = m r \omega^2
両辺に \dot{r} をかけて積分すると、
\dot{r} = \omega \sqrt{r^2 - {r_0}^2}
を得る。さらにこれを積分すると、
 r = r_0 \cosh\omega t
となる。直交座標にとりかえれば、
 x = r_0 \cosh\omega t \cos\omega t
 y = r_0 \cosh\omega t \sin\omega t

Algodooによるシミュレーションと、Polymathによる数値計算を併せて実行してみた。