転がりにおける摩擦力の方向 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

質量 $M$ 、半径 $a$ の密度一様な円筒が、上部において力 $F$ で引かれて転がる運動を考察する。注目すべきは摩擦力の方向である。

摩擦力を $F$ と逆向きに $f$ とすると、重心の運動方程式は

$M\dot{v} = F - f$

重心まわりの回転の運動方程式は

$\displaystyle\frac{1}{2}Ma^2 \dot{\omega} = Fa + fa$

すべることなく転がるとすると、 $\dot{v} = a\dot{\omega}$ を考慮して $f$ を消去すれば、

$\displaystyle\frac{3}{2}M\dot{v} = 2F$

より加速度を得る。問題は摩擦力 $f$ である。２つの運動方程式より、

$\displaystyle\frac{1}{2} (F - f) = F + f$

したがって、

$f = - \displaystyle\frac{1}{3} F$

となる。つまり、摩擦力は進行方向となるのである。摩擦が少なくなると、先に回転が起こってすべる、ということにほかならない。

ちなみに、中心を力 $F$ で引くと、今度は

$f = \displaystyle\frac{1}{3} F$

となり、これは当然ながら（回転方向のモーメントがなければならないから）進行逆方向となる。