バトンの弾性衝突

力学

長さ 2r の軽い棒の両端に、質量 m の質点がついたバトンを、水平面から \theta だけ傾けた状態のまま自由落下させたところ、高さ h だけ落下して、なめらかで水平な床と完全弾性衝突してはねかえったとする。はねかえり後の運動を求める。
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衝突直前の速さは、\sqrt{2gh} である。床から受ける力積を \it{\Delta}J 、衝突直後の重心の速度を上向きに v 、バトンの角速度の大きさを \omega とする。

重心の運動量-力積関係は
2m(v + \sqrt{2gh}) = \it{\Delta}J
重心まわりの角運動量-力積のモーメント関係は
2mr^2\omega = \it{\Delta}J \cos\theta\cdot r
衝突した質点の速度の鉛直成分は
v + r\omega \cos\theta = \sqrt{2gh}

以上を連立させると、v, \omega, \it{\Delta}J を得る。

v = \displaystyle\frac{\sqrt{2gh}\sin^2\theta}{1+\cos^2\theta}
\omega = \displaystyle\frac{2\sqrt{2gh}\cos\theta}{r(1+\cos^2\theta)}
{\it{\Delta}J} = \displaystyle \frac{4m\sqrt{2gh}}{1+\cos^2\theta}