電気双極子場(初稿2008.11.23)

物理のかぎしっぽ数式掲示
http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=preview_pc
というややハイレベルなQ&A掲示板がある。ここに次の質問が寄せられた。
「問題」
電気双極子:微小区間dで並ぶ点電荷q-qの組。これはイオン結合性分子など分子の分極を表すモデルに使われる。
双極子モーメント:P=qdに比べて十分に遠方の点Pでの電位\phi(r)を求めなさい。
※答えは
\phi(\boldsymbol{r})=\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}
になるそうです。

次に電場を求めなさい。
※答えは
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{\boldsymbol{P}}{r^3}+\frac{3(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r^5}\right)
になるそうです。


この掲示板はかなり刺激的で,なかなかついていけない議論も多いが,これはなんとかできそう?
で,やってみた。
-qから+qまでのベクトルを\boldsymbol{d},またk_0=1/(4\pi\varepsilon_0)として,
+qによる電位
\phi_+(\boldsymbol{r}) = k_0\frac{q}{\sqrt{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{d}/2)^2}} \simeq \frac{k_0q}{r}\left(1+\frac{\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{r}}{2r^2}\right)
-qによる電位
\phi_-(\boldsymbol{r}) = -k_0\frac{q}{\sqrt{(\boldsymbol{r}+\boldsymbol{d}/2)^2}} \simeq -\frac{k_0q}{r}\left(1-\frac{\boldsymbol{d}\cdot\boldsymbol{r}}{2r^2}\right)
したがって,
\phi(\boldsymbol{r}) = \phi_+(\boldsymbol{r}) + \phi_-(\boldsymbol{r}) = \frac{k_0\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}
電場は電位の勾配をとればよいが,これがなかなか大変。
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = -\nabla\phi(\boldsymbol{r}) = -k_0\nabla\left(\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}\right)
一般に,
[\nabla(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})]_i = \bigtriangledown_i (\sum_{j=1}^3 a_jb_j) = \sum_{j=1}^3(b_j\bigtriangledown_ia_j+a_j\bigtriangledown_ib_j)
すなわち,
\nabla(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}) = (\nabla\circ\boldsymbol{a})\boldsymbol{b} + (\nabla\circ\boldsymbol{b})\boldsymbol{a}
となる。ただし,右辺は行列としての積をとるものとし,「\circ」は直積を意味する。すなわち,
(\nabla\circ\boldsymbol{a})\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix}\bigtriangledown_x\\\bigtriangledown_y\\\bigtriangledown_z\end{pmatrix} \begin{matrix}(a_x,a_y,a_z)\\ \\ \\\end{matrix}\begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}
\boldsymbol{P} は定ベクトルであるから,結局
\nabla\left(\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}\right) = \nabla\circ\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right) \boldsymbol{P}
となる。\boldsymbol{P}の係数は,
[\nabla\circ\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right)]_{ij} = \bigtriangledown_i\left(\frac{x_j}{r^3}\right) = \frac{\delta_{ij}}{r^3} - \frac{3x_ix_j}{r^5}
であるから,
\nabla\left(\frac{\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}\right) = \left(\frac{\bf{1}}{r^3} - \frac{3\boldsymbol{r}\circ\boldsymbol{r}}{r^5}\right)\boldsymbol{P} = \frac{\boldsymbol{P}}{r^3} - \frac{3(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r^5}
よって,
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})=k_0\left(-\frac{\boldsymbol{P}}{r^3}+\frac{3(\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{r}}{r^5}\right)
となる。(終わり)