球座標による応力の平衡方程式 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

球座標による応力のつりあいの微分方程式を計算してみた。（初稿：2012/02/17）

応力テンソル $\mathcal{T}$ ，単位体積当たり物体力（体積力）を $\boldsymbol{f}$ とすると，つりあいは
$\nabla\cdot\mathcal{T} + \boldsymbol{f} = 0$
と書ける。基底のダイアド積（直積）を用いると第１項は，
$\nabla\cdot\mathcal{T} = \boldsymbol{e}_k\cdot\partial_k(\tau_{ij}\boldsymbol{e}_i\circ\boldsymbol{e}_j)$
　　 $= \partial_k\tau_{ij}(\boldsymbol{e}_k\cdot\boldsymbol{e}_i)\boldsymbol{e}_j + (\boldsymbol{e}_k\cdot\partial_k\boldsymbol{e}_i)\tau_{ij}\boldsymbol{e}_j + (\boldsymbol{e}_k\cdot\boldsymbol{e}_i)\tau_{ij}\partial_k\boldsymbol{e}_j$
　　 $= \partial_k\tau_{ij}\delta_{ki}\boldsymbol{e}_j + (\boldsymbol{e}_k\cdot\partial_k\boldsymbol{e}_i)\tau_{ij}\boldsymbol{e}_j + \delta_{ki}\tau_{ij}\partial_k\boldsymbol{e}_j$
　　 $= \partial_i\tau_{ij}\boldsymbol{e}_j + (\boldsymbol{e}_k\cdot\partial_k\boldsymbol{e}_i)\tau_{ij}\boldsymbol{e}_j + \tau_{ij}\partial_i\boldsymbol{e}_j$
となる。最右辺第３項が，通常のベクトルの発散と異なってテンソルであるために付加される部分である。したがって，第１・２項はベクトルの発散の公式を用いてもよい。ただし，上式において微分演算子は
$\partial_i = \displaystyle\frac{\partial}{h_i\partial x_i}$
と，スケール因子を含むものとする。すなわち，球座標においては
$\partial_1 = \partial_r = \displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\quad,\quad\partial_2 = \frac{1}{r}\partial_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\quad,\quad \partial_3 = \frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$
である。基底の微分
$d\boldsymbol{e}_r = d\theta \boldsymbol{e}_\theta + d\phi\sin\theta \boldsymbol{e}_\phi$
$d\boldsymbol{e}_\theta = -d\theta\boldsymbol{e}_r + d\phi\cos\theta \boldsymbol{e}_\phi$
$d\boldsymbol{e}_\phi = -d\phi(\sin\theta\boldsymbol{e}_r + \cos\theta\boldsymbol{e}_\theta)$
を用いて計算すれば，やや長い計算の後に下記を得る。
$\nabla\cdot\mathcal{T} = \boldsymbol{e}_r\left(\partial_r\sigma_r + \displaystyle\frac{1}{r}\partial_\theta\tau_{r\theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi\tau_{\phi r} + \frac{2\sigma_r - \sigma_\theta - \sigma_\phi + \tau_{r\theta}\cot\theta}{r}\right)$
　　　 $+ \boldsymbol{e}_\theta\left(\partial_r\tau_{r\theta} + \displaystyle\frac{1}{r}\partial_\theta\sigma_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi\tau_{\phi\theta} + \frac{3\tau_{r\theta} + (\sigma_\theta - \sigma_\phi)\cot\theta}{r}\right)$
　　　 $+ \boldsymbol{e}_\phi\left(\partial_r\tau_{\phi r} + \displaystyle\frac{1}{r}\partial_\theta\tau_{\theta\phi} + \frac{1}{r\sin\theta}\partial_\phi \sigma_\phi + \frac{3\tau_{\phi r} + 2\tau_{\theta\phi}\cot\theta}{r}\right)$
ただし， $\sigma_r=\tau_{rr}$ 等。これを用いれば，球座標による応力の平衡方程式
$\nabla\cdot\mathcal{T} + \boldsymbol{f} = 0$
を得る。