運動座標系のシステマティックな導出(3)

\quad回転の角速度ベクトル\boldsymbol\omegaを用いた,速度・加速度の導出。


運動座標系による運動方程式(1)で論じたように,運動座標系におけるベクトル\boldsymbol{A}の時間微分は,
$$\frac{d\boldsymbol{A}}{dt} = \frac{D\boldsymbol{A}}{dt} + \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{A}$$
と書ける。ここで,
$$\frac{D}{dt}\boldsymbol{A} = \dot{A_1}\boldsymbol{e}_1 + \dot{A_2}\boldsymbol{e}_2 + \dot{A_3}\boldsymbol{e}_3$$
は,(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3)を基底とする運動座標系における成分値のみの時間変化率を表し,また
$$\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{A} = A_1\dot{\boldsymbol{e}_1} + A_2\dot{\boldsymbol{e}_2} + A_3\dot{\boldsymbol{e}_3}$$
は基底自体の回転による「補正」を意味する。
さて,これを運動座標系のシステマティックな導出(2)の3次元極座標系の場合に適用してみよう。

#ref(http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=382&file=polar4.bmp)

3次元極座標系の微小回転角をd\boldsymbol{\Theta}とすると,
$$d\boldsymbol{\Theta} = d\theta\boldsymbol{e}_\phi + d\phi\boldsymbol{e}_z\\
= d\theta\boldsymbol{e}_\phi + d\phi(\cos\theta\boldsymbol{e}_r - \sin\theta\boldsymbol{e}_\theta)\\
= d\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_r - d\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\theta + d\theta\boldsymbol{e}_\phi$$
となる。したがって,運動による座標系の回転の角速度ベクトルは,
$$\boldsymbol{\omega} = \dot\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_r - \dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\theta + \dot\theta\boldsymbol{e}_\phi$$
と書ける。すると,速度は
$$\dot{\boldsymbol{r}} = \dot{r}\boldsymbol{e}_r + \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}\\
= \dot{r}\boldsymbol{e}_r + (\dot\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_r - \dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\theta + \dot\theta\boldsymbol{e}_\phi)\times(r\boldsymbol{e}_r)\\
= \dot{r}\boldsymbol{e}_r - r\dot\phi\sin\theta(\boldsymbol{e}_\theta\times\boldsymbol{e}_r) + r\dot\theta(\boldsymbol{e}_\phi\times\boldsymbol{e}_r)\\
= \dot{r}\boldsymbol{e}_r +r\dot\theta\boldsymbol{e}_\theta + r\dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\phi$$
また,加速度も
$$\ddot{\boldsymbol{r}} = \frac{D\dot{\boldsymbol{r}}}{dt} + \boldsymbol{\omega}\times \dot{\boldsymbol{r}}$$
によって,目的の結果を得る。

さて,基底の時間微分
$$\left(\begin{matrix}\dot{\boldsymbol{e}}_r\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\theta\\ \dot{\boldsymbol{e}}_\phi\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\qquad 0 \qquad\quad \dot\theta \qquad\quad \dot\phi\sin\theta\\ \quad -\dot\theta \qquad\quad 0 \qquad\quad \dot\phi\cos\theta\\-\dot\phi\sin\theta \,\, -\dot\phi\cos\theta \qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_r\\\boldsymbol{e}_\theta\\\boldsymbol{e}_\phi\end{matrix}\right)$$
が,\boldsymbol{\omega}と深い関係があることは,容易に推察できる。実は,上の反対称行列をベクトルにかけると,\boldsymbol{\omega}とのベクトル積(の符号を変えたもの)に等しくなる。
$$\left(\begin{matrix}\qquad 0 \qquad\quad \dot\theta \qquad\quad \dot\phi\sin\theta\\ \quad -\dot\theta \qquad\quad 0 \qquad\quad \dot\phi\cos\theta\\-\dot\phi\sin\theta \,\, -\dot\phi\cos\theta \qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A_r\\A_\theta\\A_\phi\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\dot\theta A_\theta+\dot\phi\sin\theta A_\phi\\ -\dot\theta A_r + \dot\phi\cos\theta A_\phi\\ -\dot\phi\sin\theta A_r - \dot\phi\cos\theta A_\theta\end{matrix}\right)\\
= -(\dot\phi\cos\theta\boldsymbol{e}_r - \dot\phi\sin\theta\boldsymbol{e}_\theta + \dot\theta\boldsymbol{e}_\phi)\times(A_r\boldsymbol{e}_r+A_\theta\boldsymbol{e}_\theta+A_\phi\boldsymbol{e}_\phi) = -\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{A}$$
これは,この反対称行列が\boldsymbol{\omega}のいわゆる「双対テンソル」(軸性ベクトルの反対称テンソル表現)になっていることを示しているのである。
対称性が見えやすいように,(r,\theta,\phi)に対して1,2,3の添え字を当てれば,
$$\boldsymbol{\omega} = \omega_{23}\boldsymbol{e}_1 + \omega_{31}\boldsymbol{e}_2 + \omega_{12}\boldsymbol{e}_3$$
のとき,
$$\left(\begin{matrix}\dot{\boldsymbol{e}}_1\\ \dot{\boldsymbol{e}}_2\\ \dot{\boldsymbol{e}}_3\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}\quad0\qquad \omega_{12}\quad-\omega_{31}\\-\omega_{12}\qquad 0 \qquad \omega_{23}\\ \omega_{31}\quad -\omega_{23}\qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\boldsymbol{e}_1\\\boldsymbol{e}_2\\\boldsymbol{e}_3\end{matrix}\right)$$
となる。これで\boldsymbol{\omega}を求めれば,基底の時間微分は自動的に導出できることがわかった。

(初稿:2010/04/18)