ベクトル演算の行列化(1)

物理数学

ベクトルの内積は，行ベクトルと列ベクトルの行列積に他ならない。ベクトル積や微分演算子を含めて，ベクトル演算をすべて行列化してビジュアルにこなしたいというワガママ。拙著「特殊相対性理論compact」
https://1drv.ms/b/s!AmvGIcmpu2Gwlk5Flzy4PsSPOOd2
で用いた表記をもとにしている。\quad


ベクトルの内積は，行ベクトルと列ベクトルの行列積に他ならない。
\boldsymbol{a} = \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\end{matrix}\right)　，　\boldsymbol{b} = \left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\end{matrix}\right)
とおくとき，
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = ^t\!\!\boldsymbol{a}\boldsymbol{b} = \begin{matrix}(a_x,a_y,a_z)\\ \\ \\\end{matrix}\left(\begin{matrix}b_x\\b_y\\b_z\end{matrix}\right) = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z
ここで，左肩のtは転置行列を示すものとする。列ベクトルの転置は行ベクトルである。
微分演算子もベクトルとして扱えば，気持ちがいい。以下　\partial_x = \partial/\partial xなどと略記すると，
\nabla\cdot\boldsymbol{A} = ^t\!\!\nabla\boldsymbol{A} = \begin{matrix}(\partial_x,\partial_y,\partial_z)\\ \\ \\\end{matrix}\left(\begin{matrix}A_x\\A_y\\A_z\end{matrix}\right) = \partial_xA_x+\partial_yA_y+\partial_zA_z
この企みにおける最初の困難は，ベクトル積であろう。しかし，この困難もベクトルと「双対をなす」反対称テンソルを導入することで解決する。ベクトル\boldsymbol{B}と双対をなすテンソルとは，\varepsilon_{ijk}B_kで定義される成分をもつ反対称２階テンソルで，
^*\!\boldsymbol{B} = \left(\begin{matrix}\quad 0\qquad B_z\quad-B_y\\-B_z\qquad 0\qquad B_x\\\,\,B_y\,\,-B_x\qquad 0\end{matrix}\right)
と書ける。左肩の*は，「双対」をとる演算子である。すると，ベクトル積は
\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B} = ^*\!\!\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{v} = \left(\begin{matrix}\quad 0\qquad B_z\quad-B_y\\-B_z\qquad 0\qquad B_x\\\,\,B_y\,\,-B_x\qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v_x\\v_y\\v_z\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}v_yB_z-v_zB_y\\v_zB_x-v_xB_z\\v_xB_y-v_yB_x\end{matrix}\right)
となる。
ちなみに，ベクトル積は直積を用いて
^*\!(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}\circ\boldsymbol{b} - \boldsymbol{b}\circ\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}\,^t\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}\,^t\boldsymbol{a}
と書ける。直積とは，
\boldsymbol{a}\circ\boldsymbol{b} = \boldsymbol{a}\,^t\boldsymbol{b} = \left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\end{matrix}\right)\begin{matrix}(b_x,b_y,b_z)\\ \\ \\\end{matrix} = \left(\begin{matrix}a_xb_x\,\,a_xb_y\,\,a_xb_z\\a_yb_x\,\,a_yb_y\,\,a_yb_z\\a_zb_x\,\,a_zb_y\,\,a_zb_z\end{matrix}\right)
と定義される，ベクトルからテンソルを構成する演算である。
上の関係を用いると，ベクトル三重積の「BAC-CAB則」がただちに証明できる。
\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}) = ^*\!\!(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\boldsymbol{a} = (\boldsymbol{b}\,^t\boldsymbol{c}-\boldsymbol{c}\,^t\boldsymbol{b})\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})

ベクトル演算の行列化(2)
http://yokkun831.hatenablog.com/entry/2018/10/31/102707

へ続く
（初稿：2010/10/21）