ベクトル演算の行列化(2)

物理数学

基本公式の確認とベクトル演算公式の証明。\quad


ベクトル演算を行列化する上での基本公式を整理しておこう。
以下，行列積の表記の中で「何もつかない」ベクトルは列ベクトルとする。
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = ^t\!\!\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}
\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = ^*\!\!\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}
^*\!(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}\,^t\!\boldsymbol{b} - \boldsymbol{b}\,^t\!\boldsymbol{a}
ただし，
　　　　^*\!\boldsymbol{A} = \Big(\varepsilon_{ijk}A_k\Big) = \left(\begin{matrix}\quad 0\qquad A_z\quad-A_y\\-A_z\qquad 0\qquad A_x\\\,\,A_y\,\,-A_x\qquad 0\end{matrix}\right),\qquad^*(^*\!\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}

手始めにベクトルの重積の証明を。

(1)\quad\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A} = \boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}
　　\because\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A} = ^t\!(^*\!\boldsymbol{C}\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} = ^t\!\!\boldsymbol{B}^t\!(^*\!\boldsymbol{C})\boldsymbol{A} = -^t\!\boldsymbol{B}^*\!\boldsymbol{C}\boldsymbol{A} = -\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A}

(2)\quad\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}) - \boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})
　　\because\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = ^*\!\!(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{B}\,^t\boldsymbol{C}-\boldsymbol{C}\,^t\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}) - \boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})

(3)\quad(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D}) = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{D}) - (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{D})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C})
　　\because(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D}) = ^t\!(^*\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A})(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D}) = ^t\!\!\boldsymbol{A}(-^*\!\boldsymbol{B})(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D}) = ^t\!\!\boldsymbol{A}^*\!(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D})\boldsymbol{B}\\ = ^t\!\!\boldsymbol{A}(\boldsymbol{C}^t\!\boldsymbol{D} - \boldsymbol{D}^t\!\boldsymbol{C})\boldsymbol{B} = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{D}) - (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{D})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C})

ベクトル演算の行列化(3)
http://yokkun831.hatenablog.com/entry/2018/10/31/103300

へ続く
（初稿：2010/10/21）