ベクトル演算の行列化(3) - 科学のおもちゃ箱@Hatena

続いて微分公式。コンパクトにはなるものの，慣れないとなかなか気持ちよくいかないかもしれない（＾＾；）。 $\quad$

微分演算子は作用対象を常に考慮しなければならず，積の順序を自由に交換できないので，気持ちよくこなすには多少の工夫が必要のようだ。ベクトルにおいて，
$\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = ^*\!\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = -^*\!\!\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$
だが，微分演算子を含むと
$\nabla\times\boldsymbol{A} = -^*\!\nabla\boldsymbol{A} = -\left(\begin{matrix}\quad 0\qquad \partial_z\quad-\partial_y\\-\partial_z\qquad 0\qquad \partial_x\\\,\,\partial_y\,\,-\partial_x\qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A_x\\A_y\\A_z\end{matrix}\right)$
となり，上の真ん中の形は許されない。ポイントは積の転置の
$^t\!({\sf AB}) = ^t\!{\sf B}^t\!{\sf A}$
という性質をうまく使うこと。慣れないとなかなか気持ちよく…というわけにいかないが，何とかうまくいったかな？

$(1)\quad\nabla(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} + (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}\times(\nabla\times\boldsymbol{B}) + \boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{A})$

$\because\quad\nabla(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) = \nabla(^t\!\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = (\nabla^t\!\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} + (\nabla^t\!\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}\\ = [ \nabla^t\!\boldsymbol{A} - ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A}) ]\boldsymbol{B} + [ \nabla^t\!\boldsymbol{B} - ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{B}) ]\boldsymbol{A} + ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} + ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}\\ = ^*\!(\nabla\times\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} + ^*\!(\nabla\times\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} + ^t\![^t\!\boldsymbol{B}(\nabla^t\!\boldsymbol{A})] + ^t\![^t\!\boldsymbol{A}(\nabla^t\!\boldsymbol{B})]\\ = \boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\times(\nabla\times\boldsymbol{B}) + (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} + (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}$

途中，
　 $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = ^t\!\!\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} = ^t\!\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$
および，
　 $^*\!(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{A}^t\!\boldsymbol{B} - \boldsymbol{B}^t\!\boldsymbol{A}$
したがってまた，
　 $^*\!(\nabla\times\boldsymbol{A}) = \nabla^t\!\boldsymbol{A} - ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A})$
を用いた。

$(2)\quad\nabla\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B})$

$\because\quad\nabla\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = ^t\!\nabla(^*\!\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}) = (^t\nabla^*\!\!\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} - (^t\nabla^*\!\!\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}\\ = -^t\!(\nabla\times\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} + ^t\!(\nabla\times\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B})$

途中，
　 $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = ^*\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = -^*\!\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$
および，
　 $^t\!\boldsymbol{A}^*\!\boldsymbol{B} = ^t\!(^t\!^*\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}) = ^t\!(-^*\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}) = -^t\!(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})$
したがってまた，
　 $^t\nabla^*\!\boldsymbol{A} = -^t\!(\nabla\times\boldsymbol{A})$
を用いた。

$(3)\quad\nabla\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} - (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}(\nabla\cdot\boldsymbol{B}) - \boldsymbol{B}(\nabla\cdot\boldsymbol{A})$

$\because\quad\nabla\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = ^t\![^t\nabla^t {^*(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})}$ ]
$= ^t\![^t\nabla^t\!(\boldsymbol{A}^t\!\boldsymbol{B} - \boldsymbol{B}^t\!\boldsymbol{A})$ ]
$= ^t\![^t\nabla(\boldsymbol{B}^t\!\boldsymbol{A}) - ^t\nabla(\boldsymbol{A}^t\!\boldsymbol{B})$ ]
$= ^t\![(^t\nabla\boldsymbol{B})^t\!\boldsymbol{A} + (^t\!\boldsymbol{B}\nabla)^t\!\boldsymbol{A} - (^t\nabla\boldsymbol{A})^t\!\boldsymbol{B} - (^t\!\boldsymbol{A}\nabla)^t\!\boldsymbol{B}$
$= \boldsymbol{A}(\nabla\cdot\boldsymbol{B}) + (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) - (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}$

内積の可換性を用いて， $\nabla$ が $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ の両方に作用するように注意する。
もちろん，「BAC-CAB則」を直接用いてもよい。

$(4)\quad\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) = \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) - \nabla^2\boldsymbol{A}$

$\because\quad\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) = ^t\![^t\nabla^t{^*\!(\nabla\times\boldsymbol{A})}$ ]
$= ^t\![^t\nabla^t\!\{\nabla^t\!\boldsymbol{A} - ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A})\}$ ]
$= ^t\![^t\nabla^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A}) - ^t\nabla(\nabla^t\!\boldsymbol{A})]$
$= \nabla^t\nabla\boldsymbol{A} - (^t\nabla\nabla)\boldsymbol{A}$
$= \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) - \nabla^2\boldsymbol{A}$

第１項の変形は，
　 $^t\![^t\!\boldsymbol{a}^t\!(\boldsymbol{a}^t\!\boldsymbol{b})] = \boldsymbol{a}^t\!\boldsymbol{b}\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}^t\!\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$ 　により，
　 $^t\![^t\nabla^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A})] = \nabla^t\nabla\boldsymbol{A}$
を用いた。