回転の記述と軸性ベクトル（２） - 科学のおもちゃ箱@Hatena

回転の記述と軸性ベクトル（１）では，軸性ベクトルとのベクトル積が双対の関係にある２階反対称テンソルとの行列積に他ならないことを示した。次いで軸性ベクトルの変換性を考察する。

(2) 空間反転に対する軸性ベクトルの変換

本来回転の角速度の記述は，２階反対称テンソルによる記述が３次元空間における素直な表現といえる。スカラー積が行ベクトルと列ベクトルの行列積で表されるのに対して，ベクトル積の定義はいかにも操作的に思われる。

$\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = A_iB_i$

$(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})_i = \varepsilon_{ijk}A_jB_k$

ここで， $\varepsilon_{ijk}A_j$ の部分

$^*\boldsymbol{A} = \Big(\varepsilon_{ijk}A_j\Big) = \left(\begin{matrix}\quad 0\qquad -A_z\qquad A_y\\\quad A_z\qquad 0\qquad -A_x\\-A_y\qquad A_x\qquad 0 \end{matrix}\right)$

の部分が２階反対称テンソルになっているわけだ。さて，空間反転の変換 ${\mathcal R}$ に対して，極性ベクトルは

${\mathcal R}\boldsymbol{B} = \left(\begin{matrix}-1\qquad 0\qquad 0\\\quad0\quad -1\qquad 0\\\quad 0\qquad 0 \quad -1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B_x\\B_y\\B_z\end{matrix}\right) = -\boldsymbol{B}$

とその符号を変える（成分の符号が変わるという意味で，ベクトルそのものは変わらない）。一方，反対称テンソルは

${\mathcal R}\;^*\boldsymbol{A}\;^t{\mathcal R} = \left(\begin{matrix}-1\qquad 0\qquad 0\\\quad0\quad -1\qquad 0\\\quad 0\qquad 0 \quad -1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\quad 0\qquad -A_z\qquad A_y\\\quad A_z\qquad 0\qquad -A_x\\-A_y\qquad A_x\qquad 0 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\qquad 0\qquad 0\\\quad0\quad -1\qquad 0\\\quad 0\qquad 0 \quad -1\end{matrix}\right)$

　　　　 $= \left(\begin{matrix}\quad 0\qquad -A_z\qquad A_y\\\quad A_z\qquad 0\qquad -A_x\\-A_y\qquad A_x\qquad 0 \end{matrix}\right) = \;^*\boldsymbol{A}$