極座標による微分導出への回転の活用(3)

最後はラプラシアンで締めましょう。

ラプラシアンは，
$\triangle \Phi = \nabla\cdot(\nabla \Phi) = \,\,^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial}\cdot d(\,\,^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial}d\Phi)$
を計算すればよい。まず，
$\,\,^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial} = \left(\displaystyle\frac{1}{dr},\frac{1}{r d\theta},\frac{1}{r\sin\theta d\varphi}\right)$
であった。以下，簡単のため，
$\partial_r\Phi = \displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial r}$
等の略記を用いる。ここで　 $\boldsymbol{A} = \,\,^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial}d\Phi$ 　とおけば，
$d\boldsymbol{A} = D\boldsymbol{A} + d\boldsymbol{\Theta}\times \boldsymbol{A}$
であったから，部分的に計算すると
$D\boldsymbol{A} = \left(\begin{matrix} d(\partial_r\Phi)\\ d\left(\displaystyle\frac{1}{r}\partial_\theta\Phi\right)\\ d\left(\displaystyle\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\varphi\Phi\right) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} d(\partial_r\Phi)\\ -\displaystyle\frac{dr}{r^2}\partial_\theta\Phi + \frac{1}{r}d(\partial_\theta\Phi)\\ -\displaystyle\frac{dr}{r^2\sin\theta}\partial_\varphi\Phi - \frac{\cos\theta d\theta}{r\sin^2\theta}\partial_\varphi\Phi + \frac{1}{r\sin\theta}d(\partial_\varphi\Phi) \end{matrix}\right)$
$d\boldsymbol{\Theta}\times\boldsymbol{A} = \left(\begin{matrix} d\varphi\cos\theta\\ -d\varphi\sin\theta\\ d\theta \end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix} \partial_r\Phi\\ \displaystyle\frac{1}{r}\partial_\theta\Phi\\ \displaystyle\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\varphi\Phi \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -\displaystyle\frac{d\varphi}{r}\partial_\varphi\Phi - \frac{d\theta}{r}\partial_\theta\Phi\\ d\theta\partial_r\Phi - \displaystyle\frac{d\varphi}{r\tan\theta}\partial_\varphi\Phi\\ \displaystyle\frac{d\varphi\cos\theta}{r}\partial_\theta\Phi + d\varphi\sin\theta\partial_r\Phi \end{matrix}\right)$
したがって，
$\triangle\Phi = \,\,^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial}\cdot d\boldsymbol{A} = {\partial_r}^2\Phi + \displaystyle\frac{2}{r}\partial_r\Phi + \frac{1}{r^2}{\partial_\theta}^2\Phi + \frac{1}{r^2\tan\theta}\partial_\theta\Phi + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}{\partial_\varphi}^2\Phi$
または，お好みであれば，
$\triangle \Phi = \displaystyle\frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r\Phi) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\Phi) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}{\partial_\varphi}^2\Phi$
を得る。

（初稿：2010/10/14）