極座標による微分導出への回転の活用(3)

最後はラプラシアンで締めましょう。


ラプラシアンは,
$$\triangle \Phi = \nabla\cdot(\nabla \Phi) = \,\,^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial}\cdot d(\,\,^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial}d\Phi)$$
を計算すればよい。まず,
$$\,\,^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial} = \left(\frac{1}{dr},\frac{1}{r d\theta},\frac{1}{r\sin\theta d\varphi}\right)$$
であった。以下,簡単のため,
$$\partial_r\Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial r}$$
等の略記を用いる。ここで \boldsymbol{A} = \,\,^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial}d\Phi とおけば,
$$d\boldsymbol{A} = D\boldsymbol{A} + d\boldsymbol{\Theta}\times \boldsymbol{A}$$
であったから,部分的に計算すると
$$D\boldsymbol{A} = \left(\begin{matrix} d(\partial_r\Phi)\\ d\left(\displaystyle\frac{1}{r}\partial_\theta\Phi\right)\\ d\left(\displaystyle\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\varphi\Phi\right) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} d(\partial_r\Phi)\\ -\displaystyle\frac{dr}{r^2}\partial_\theta\Phi + \frac{1}{r}d(\partial_\theta\Phi)\\ -\displaystyle\frac{dr}{r^2\sin\theta}\partial_\varphi\Phi - \frac{\cos\theta d\theta}{r\sin^2\theta}\partial_\varphi\Phi + \frac{1}{r\sin\theta}d(\partial_\varphi\Phi) \end{matrix}\right)$$
$$d\boldsymbol{\Theta}\times\boldsymbol{A} = \left(\begin{matrix} d\varphi\cos\theta\\ -d\varphi\sin\theta\\ d\theta \end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix} \partial_r\Phi\\ \displaystyle\frac{1}{r}\partial_\theta\Phi\\ \displaystyle\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\varphi\Phi \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} -\displaystyle\frac{d\varphi}{r}\partial_\varphi\Phi - \frac{d\theta}{r}\partial_\theta\Phi\\ d\theta\partial_r\Phi - \displaystyle\frac{d\varphi}{r\tan\theta}\partial_\varphi\Phi\\ \displaystyle\frac{d\varphi\cos\theta}{r}\partial_\theta\Phi + d\varphi\sin\theta\partial_r\Phi \end{matrix}\right)$$
したがって,
$$\triangle\Phi = \,\,^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial}\cdot d\boldsymbol{A} = {\partial_r}^2\Phi + \frac{2}{r}\partial_r\Phi + \frac{1}{r^2}{\partial_\theta}^2\Phi + \frac{1}{r^2\tan\theta}\partial_\theta\Phi + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}{\partial_\varphi}^2\Phi$$
または,お好みであれば,
$$\triangle \Phi = \frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r\Phi) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\partial_\theta(\sin\theta\partial_\theta\Phi) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}{\partial_\varphi}^2\Phi$$
を得る。

(初稿:2010/10/14)