球座標（3次元極座標）における簡明な微分導出

スケール因子だの、回転変換だの…とややこしさ満載の球座標のベクトル解析。過去においてもいろいろと考えてきたが、これまで「カンニング」なしで自力でたとえばラプラシアンの表式を導出する、といったことにはとても自信が持てなかった。しかし、よくよく考えてみると、そのややこしさはほとんどが可動基底の微分に端を発している。こいつを何とか突破すれば、あとはシステマティックに片づけることができそうだ。

記法の提案

微分記号はなかなか書くのも大変なので、以下の記法を提案する。

$\partial_r = \displaystyle\frac{\partial}{\partial r}$ 　,　 $\partial_\theta = \displaystyle\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}$ 　,　 $\partial_\phi = \displaystyle\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}$

可動基底の微分

角変位にともなう可動基底の変化を知ることは、３次元図形の読み取り問題でありなかなか骨の折れる操作だが、何とか図を描いてこなすことができる。結果としての基底の微分は、

$\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial \theta} = \boldsymbol{e}_\theta$ 　,　　　 $\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial \theta} = -\boldsymbol{e}_r$ 　,　　　 $\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{e}_\phi}{\partial \theta} = 0$
$\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial \phi} = \boldsymbol{e}_\phi \sin\theta$ 　,　 $\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial \phi} = \boldsymbol{e}_\phi \cos\theta$ 　,　 $\displaystyle\frac{\partial \boldsymbol{e}_\phi}{\partial \phi} = -\boldsymbol{e}_\theta \cos\theta - \boldsymbol{e}_r \sin\theta$
または、
$\partial_\theta \boldsymbol{e}_r = \displaystyle\frac{1}{r}\boldsymbol{e}_\theta　,　\partial_\theta \boldsymbol{e}_\theta = -\displaystyle\frac{1}{r}\boldsymbol{e}_r　,　\partial_\theta \boldsymbol{e}_\phi = 0$
$\partial_\phi \boldsymbol{e}_r = \displaystyle\frac{1}{r}\boldsymbol{e}_\phi　,　\partial_\phi \boldsymbol{e}_\theta = \displaystyle\frac{1}{r\tan\theta}\boldsymbol{e}_\phi　,　\partial_\phi \boldsymbol{e}_\phi = -\displaystyle\frac{1}{r}\left(\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{\tan\theta} + \boldsymbol{e}_r\right)$

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発散（divergence）

座標微分演算子(nabla)は、
$\nabla = \boldsymbol{e}_r \partial_r + \boldsymbol{e}_\theta \partial_\theta + \boldsymbol{e}_\phi \partial_\phi$
であるから、発散は
$\nabla\cdot\boldsymbol{A} = ( \boldsymbol{e}_r \partial_r + \boldsymbol{e}_\theta \partial_\theta + \boldsymbol{e}_\phi \partial_\phi)\cdot(\boldsymbol{e}_r A_r + \boldsymbol{e}_\theta A_\theta + \boldsymbol{e}_\phi A_\phi)\\ = \partial_r A_r + \partial_\theta A_\theta + \partial_\phi A_\phi + A_r \boldsymbol{e}_\theta\cdot \partial_\theta\boldsymbol{e}_r + A_r \boldsymbol{e}_\phi\cdot \partial_\phi\boldsymbol{e}_r + A_\theta \boldsymbol{e}_\phi\cdot \partial_\phi\boldsymbol{e}_\theta\\ = \partial_r A_r + \partial_\theta A_\theta + \partial_\phi A_\phi + \displaystyle\frac{2A_r}{r} + \frac{A_\theta}{r\tan\theta}$

回転（rotation）

$\nabla\times\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{e}_r \partial_r + \boldsymbol{e}_\theta \partial_\theta + \boldsymbol{e}_\phi \partial_\phi)\times(\boldsymbol{e}_r A_r + \boldsymbol{e}_\theta A_\theta + \boldsymbol{e}_\phi A_\phi)\\ = \boldsymbol{e}_\phi\partial_r A_\theta - \boldsymbol{e}_\theta\partial_r A_\phi - \boldsymbol{e}_\phi\partial_\theta A_r +\boldsymbol{e}_r \partial_\theta A_\phi + \boldsymbol{e}_\theta \partial_\phi A_r - \boldsymbol{e}_r\partial_\phi A_\theta\\ \qquad - \boldsymbol{e}_\theta \times \displaystyle\frac{A_\theta}{r}\boldsymbol{e}_r - \boldsymbol{e}_\phi \times \frac{A_\phi}{r}\left(\frac{\boldsymbol{e}_\theta}{\tan\theta}+\boldsymbol{e}_r\right)\\ = \boldsymbol{e}_r(\partial_\theta A_\phi - \partial_\phi A_\theta) + \boldsymbol{e}_\theta(\partial_\phi A_r - \partial_r A_\phi) + \boldsymbol{e}_\phi(\partial_r A_\theta - \partial_\theta A_r)\\ \qquad +\boldsymbol{e}_\phi \displaystyle\frac{A_\theta}{r} + \boldsymbol{e}_r\frac{A_\phi}{r\tan\theta} - \boldsymbol{e}_\theta \frac{A_\phi}{r} \\ = \boldsymbol{e}_r \left( \partial_\theta A_\phi - \partial_\phi A_\theta + \displaystyle\frac{A_\phi}{r\tan\theta}\right) + \boldsymbol{e}_\theta \left(\partial_\phi A_r - \partial_r A_\phi - \displaystyle\frac{A_\phi}{r} \right)\\ \qquad + \boldsymbol{e}_\phi \left(\partial_r A_\theta - \partial_\theta A_r + \displaystyle\frac{A_\theta}{r}\right)$

ラプラシアン（Laplacian）

$\triangle \Phi = \nabla\cdot(\nabla\Phi)\\ = ( \boldsymbol{e}_r \partial_r + \boldsymbol{e}_\theta \partial_\theta + \boldsymbol{e}_\phi \partial_\phi)\cdot(\boldsymbol{e}_r \partial_r \Phi+ \boldsymbol{e}_\theta \partial_\theta \Phi + \boldsymbol{e}_\phi \partial_\phi \Phi)\\ = {\partial_r}^2\Phi + {\partial_\theta}^2\Phi + {\partial_\varphi}^2\Phi + \displaystyle\frac{2}{r}\partial_r\Phi + \frac{1}{r\tan\theta}\partial_\theta\Phi$