OKWave>http://okwave.jp/qa/q5621531.html のQ&Aより。運動エネルギーの相対性とエネルギー保存の絶対性について。
長いので引用は避けるが,要点は次の通りである。
一定の加速度で加速する車を観測する。静止系 では,時刻 に速度 だった車が,時刻 に速度 ,そして時刻 に速度 になったとする。すると時間 に得たエネルギー に対する,時間 に得たエネルギー の比は,
となる。後半の方がエンジンの仕事率は1.67倍に増えなければならない。
これを に対して の速度をもつ慣性系 で観測すると,
となり,後半のエンジンの仕事率は3倍になってしまう。この矛盾をどう考えたらいいだろうか? ・・・というわけだ。
運動エネルギーは,座標系によって変換されるからもとより相対的である。しかし,エネルギー保存は絶対的でなければならないだろう。さて,議論のどこがおかしいか?
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エンジンがする仕事は,車の推進において力を及ぼしあう「系」に対してであることを見逃してはならない。つまり,上の議論には地球が抜けている。以下,自転・公転といったもともとの地球の運動は無視し,初め車も地球も静止しているとする。また,車の質量 ,地球の質量 とする。
たとえば, 系において車が速度 から に加速すると,運動量保存により地球は後方へ速度 から に加速することになる。このとき,
一方, 系から見ると,
となり,矛盾のないことが示される。
もう少し簡明にするために微分を使えば,運動量保存により,車の速度変化 に対して地球の速度変化は であり,このときエネルギー変化は
これを 系に対して速度 をもつ 系から見れば,
となる。座標系を移ったときに, のエネルギーが車から地球に移行したと見ることができる。まさに運動エネルギーは相対的だが,エネルギー保存は絶対的である。
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(初稿:2010/01/31)