有効ポテンシャルと惑星の軌道 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1145082241への回答をきっかけに，有効ポテンシャルと惑星の軌道の関連について整理してみた。

太陽を原点とし，太陽および惑星の速度を含む軌道面上における平面極座標を $(r,\phi)$ とする。
惑星の力学的エネルギーは，
$E = \displaystyle\frac{1}{2}m( \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2 ) - \displaystyle\frac{GMm}{r} = {\rm const.}$
角運動量保存により，
$L = mr^2\dot{\phi} = {\rm const.}\quad \therefore \dot{\phi} = \displaystyle\frac{L}{mr^2}$
したがって，
$E = \displaystyle\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + V(r)$
を得る。ここに，
$V(r) = \displaystyle\frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r}$
は動径方向を１次元運動として取り出して解析するのに用いられる「有効ポテンシャルエネルギー」である。第１項は遠心力のポテンシャルエネルギーといえる。

$V(r)$ は上図のような形状になり，
$\displaystyle\frac{1}{2}m\dot{r}^2 = E - V(r) \ge 0$
となる範囲で運動が起こる。惑星の力学的エネルギー $E$ の大小によって，軌道は次のように分離する。現実の惑星はもちろん，(3)に当たる。 $V(r)$ の最小値を $V_{\rm min}$ とするとき， $V_{\rm min} < 0$ である。

(1) $E < V_{\rm min}$ のとき
惑星はいかなる運動エネルギーも持つことができず，軌道は成立しない。

(2) $E = V_{\rm min}$ のとき
$\dot{r}=0$ となるから惑星は円軌道をとる。軌道半径は，
$r = -\displaystyle\frac{GMm}{2E} = \frac{L^2}{GMm^2}$
となる。

(3) $V_{\rm min} < E < 0$ 　のとき
運動は， $E - V(r) \ge 0$ を満たす $r$ の範囲で起こる。
不等式を具体的に書いて， $E < 0$ に注意しつつ $r$ について整理すると，
$r^2 + \displaystyle\frac{GMm}{E}\;r - \frac{L^2}{2mE} \le 0$
となる。左辺 = 0 の解を $r_{\rm min},r_{\rm max}$ とおけば，
$r_{\rm min} = -\displaystyle\frac{GMm}{2E} - \sqrt{\left(\frac{GMm}{2E}\right)^2 + \frac{L^2}{2mE}}$
$r_{\rm max} = -\displaystyle\frac{GMm}{2E} + \sqrt{\left(\frac{GMm}{2E}\right)^2 + \frac{L^2}{2mE}}$
となり，運動は $r_{\rm min} \le r \le r_{\rm max}$ の範囲に限定される。 $r_{\rm min}$ は近日点距離， $r_{\rm max}$ は遠日点距離に他ならない。

(4) $E \ge 0$ のとき
不等式は，
$r^2 + \displaystyle\frac{GMm}{E}\;r - \frac{L^2}{2mE} \ge 0$
となるから，左辺 = 0 の解のうち意味のある正の方を $r_{\rm min}$ とおくと，
$r_{\rm min} = -\displaystyle\frac{GMm}{2E} + \sqrt{\left(\frac{GMm}{2E}\right)^2 + \frac{L^2}{2mE}}$
運動は， $r \ge r_{\rm min}$ で起こる。 $E = 0$ で放物線軌道， $E > 0$ で双曲線軌道となる。

（初稿：2010/08/12）