有効ポテンシャルと惑星の軌道

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1145082241への回答をきっかけに,有効ポテンシャルと惑星の軌道の関連について整理してみた。


太陽を原点とし,太陽および惑星の速度を含む軌道面上における平面極座標(r,\phi)とする。
惑星の力学的エネルギーは,
$$E = \frac{1}{2}m( \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2 ) - \frac{GMm}{r} = {\rm const.}$$
角運動量保存により,
$$L = mr^2\dot{\phi} = {\rm const.}\quad \therefore \dot{\phi} = \frac{L}{mr^2}$$
したがって,
$$E = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + V(r)$$
を得る。ここに,
$$V(r) = \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{GMm}{r}$$
は動径方向を1次元運動として取り出して解析するのに用いられる「有効ポテンシャルエネルギー」である。第1項は遠心力のポテンシャルエネルギーといえる。
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V(r)は上図のような形状になり,
$$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 = E - V(r) \ge 0$$
となる範囲で運動が起こる。惑星の力学的エネルギーEの大小によって,軌道は次のように分離する。現実の惑星はもちろん,(3)に当たる。V(r)の最小値をV_{\rm min}とするとき,V_{\rm min} < 0である。

(1) E < V_{\rm min} のとき
惑星はいかなる運動エネルギーも持つことができず,軌道は成立しない。

(2) E = V_{\rm min} のとき
\dot{r}=0となるから惑星は円軌道をとる。軌道半径は,
$$r = -\frac{GMm}{2E} = \frac{L^2}{GMm^2}$$
となる。

(3)V_{\rm min} < E < 0 のとき
運動は,E - V(r) \ge 0を満たすrの範囲で起こる。
不等式を具体的に書いて,E < 0 に注意しつつ r について整理すると,
$$r^2 + \frac{GMm}{E}\;r - \frac{L^2}{2mE} \le 0$$
となる。左辺 = 0 の解をr_{\rm min},r_{\rm max} とおけば,
$$r_{\rm min} = -\frac{GMm}{2E} - \sqrt{\left(\frac{GMm}{2E}\right)^2 + \frac{L^2}{2mE}}$$
$$r_{\rm max} = -\frac{GMm}{2E} + \sqrt{\left(\frac{GMm}{2E}\right)^2 + \frac{L^2}{2mE}}$$
となり,運動はr_{\rm min} \le r \le r_{\rm max}の範囲に限定される。r_{\rm min}は近日点距離,r_{\rm max}は遠日点距離に他ならない。

(4)E \ge 0 のとき
不等式は,
$$r^2 + \frac{GMm}{E}\;r - \frac{L^2}{2mE} \ge 0$$
となるから,左辺 = 0 の解のうち意味のある正の方をr_{\rm min}とおくと,
$$r_{\rm min} = -\frac{GMm}{2E} + \sqrt{\left(\frac{GMm}{2E}\right)^2 + \frac{L^2}{2mE}}$$
運動は,r \ge r_{\rm min} で起こる。E = 0 で放物線軌道,E > 0 で双曲線軌道となる。
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(初稿:2010/08/12)