4元加速度と3次元加速度の関係

OKWave>http://okwave.jp/qa/q7847798.htmlより。4元加速度と3次元加速度の関係を導出する。


4元速度は
\dfrac{dx^i}{d\tau} = \gamma\dfrac{dx^i}{dt} = \gamma v^i \quad, \quad \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \quad , \quad \beta = \dfrac{v}{c}
したがって,4元加速度は
\dfrac{d^2x^i}{d\tau^2} = \gamma\dfrac{d(\gamma v^i)}{dt} = \gamma\dfrac{d\gamma}{dt}v^i + \gamma^2\dfrac{dv^i}{dt}
ここで,
\dfrac{d\gamma}{dt} = \dfrac{d}{dt}\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \dfrac{\gamma^3v}{c^2}\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{\gamma^3}{c^2}\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}
なお,最右辺は
v = \sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}
を考慮した結果で,3次元速度および加速度を \boldsymbol{v},\boldsymbol{a} とした。
結局,3次元位置ベクトル \boldsymbol{r} として
\dfrac{d^2\boldsymbol{r}}{d\tau^2} = \dfrac{\gamma^4}{c^2}(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{a}) \boldsymbol{v} + \gamma^2\boldsymbol{a}
を得る。
(初稿:2012/12/17)