次元の階段を昇る - 科学のおもちゃ箱@Hatena

ソラール館長ブログ>http://hofusolar.blogspot.jp/2012/12/blog-post_17.html?spref=fbを見て考えたこと。

円周上の微小線素 $dl$ を弧とする扇形の面積は
$dS = \displaystyle\frac{1}{2}r dl$
だから，これを円周にわたって加えると,円の面積
$S = \displaystyle\frac{1}{2} r \times 2\pi r = \pi r^2$
を得る。
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同様に，球面上の微小面素 $dS$ を底面とする錐体の体積は
$dV = \displaystyle\frac{1}{3}r dS$
だから，これを球面にわたって加えると，球の体積
$V = \displaystyle\frac{1}{3} r \times 4\pi r^2 = \frac{4}{3}\pi r^3$
を得る。
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さらに，4次元超球面の微小面素（体積素） $dV$ を底面とする超錐体の「超」体積 $dU$ と，これを超球面にわたって加えた超球の「超」体積 $U$ はどうなるだろうか？
$dU = \displaystyle\frac{1}{4}r dV$
$U = \displaystyle\frac{1}{4}r \times 2\pi^2r^3 = \frac{1}{2}\pi^2r^4$
となるらしいのだが…。