n次元超球の体積と表面積 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

「かぎしっぽ」で４次元超球の表面積について質問があった。
>http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=23043&mode2=preview_pc
これをきっかけに，調べてみた。
>http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/data/ball1.pdf
>http://my.reset.jp/~gok/math/pdf/spm/sphere.pdf
なるほどなるほど。…で，整理してみた。

$n$ 次元超球とは， $n$ 次元ユークリッド空間において
${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2 \leq r^2$
を満たす点の集合である。その $n$ 次元体積を
$V_n(r)=\alpha_n r^n$
とおく。 $r=1$ の場合の体積 $\alpha_n$ を求めよう。
$x_n=t$ における切り口は，
${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_{n-1}}^2 \leq 1-t^2$
で表される $n-1$ 次元球であるから，
$\alpha_n=2\displaystyle\int_0^1 V_{n-1}(\sqrt{1-t^2})dt=2\alpha_{n-1}I_n \quad ,\quad I_n=\int_0^1 (1-t^2)^{(n-1)/2}dt$
と書ける。 $t=\sin\theta$ と置換して， $n\geq2$ に対して部分積分により以下を得る。
$I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^n\theta d\theta=(n-1)(I_{n-2}-I_n)$
$\therefore \quad I_n=\displaystyle\frac{n-1}{n} I_{n-2}$
ここに，
$I_0=\displaystyle\int_0^{\pi/2}d\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2} \quad , \quad I_1=\int_0^{\pi/2}\cos\theta d\theta=1$
であるから，順次
$I_2=\displaystyle\frac{1}{2}I_0=\frac{\pi}{4} \quad , \quad I_3=\frac{2}{3}I_1=\frac{2}{3} \quad , \quad I_4=\frac{3}{4}I_2=\frac{3\pi}{16} \quad \cdots$
と得られて，
$\alpha_3=2\alpha_2I_3=2\cdot\pi\cdot\displaystyle\frac{2}{3}=\frac{4\pi}{3}$
$\alpha_4=2\alpha_3I_4=2\cdot\displaystyle\frac{4\pi}{3}\cdot\frac{3\pi}{16}=\frac{\pi^2}{2} \quad \cdots$
となる。すなわち，4次元超球の体積は
$V_4(r)=\alpha_4 r^4 = \displaystyle\frac{\pi^2}{2}r^4$
また，その表面積は
$S_4(r)=\displaystyle\frac{dV_4(r)}{dr}=2\pi^2r^3$
となる。
（初稿：2009/03/01）