運動座標系による運動方程式（２） - 科学のおもちゃ箱@Hatena

いよいよ本題。加速系への座標変換の副作用として表れる「慣性力」の数々。

(2) 運動方程式の変換

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質点の位置ベクトルをS系で $\boldsymbol{r}$ ，S'系で $\boldsymbol{r}^\prime$ と書く。ある瞬間に，S'系の原点がS系から見て $\boldsymbol{r}_0$ にあり，さらにS'系がS系に対して角速度 $\boldsymbol{\omega}$ で回転しているとすると，

$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_0 + \boldsymbol{r}^\prime$

$\therefore \displaystyle\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} = \frac{d\boldsymbol{r}_0}{dt} + \frac{d\boldsymbol{r}^\prime}{dt} = \frac{d\boldsymbol{r}_0}{dt} + \frac{D\boldsymbol{r}^\prime}{dt} + \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}^\prime$

となる。さらに微分すると，質点の加速度として

$\displaystyle\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} = \frac{d^2\boldsymbol{r}_0}{dt^2} + \frac{d}{dt}\left(\frac{D\boldsymbol{r}^\prime}{dt}\right) + \frac{d}{dt}(\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}^\prime)$
　　 $=\displaystyle\frac{d^2\boldsymbol{r}_0}{dt^2} + \frac{D^2\boldsymbol{r}^\prime}{dt^2} + 2\boldsymbol{\omega}\times\frac{D\boldsymbol{r}^\prime}{dt} + \frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\times\boldsymbol{r}^\prime + \boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}^\prime)$

を得る。力を $\boldsymbol{F}$ とすれば，S系における質点の運動方程式は，

$m\displaystyle\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2} = \boldsymbol{F}$

であるから，この運動方程式のS'系における表現は，

$m\displaystyle\frac{D^2\boldsymbol{r}^\prime}{dt^2} = \boldsymbol{F} - m\frac{d^2\boldsymbol{r}_0}{dt^2} - 2m\boldsymbol{\omega}\times\frac{D\boldsymbol{r}^\prime}{dt} - m\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}^\prime) - m\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\times\boldsymbol{r}^\prime$

となる。右辺第2項は並進加速度による慣性力，第3項はコリオリ力，第4項は遠心力，第5項は角速度の変化（回転の加速，回転軸の移動）による慣性力をそれぞれ意味している。
（初稿：2010/03/17）