質点系としての剛体の物理量

剛体の回転・角運動量保存

OKWaveの削除された丸投げ質問。
剛体を質点の集合としてその物理量を考察する。


(1)複数の質点から構成され、質点間の距離が変化しない系を剛体と呼ぶ。
(a)数式を用いて剛体の重心を定義せよ。

\boldsymbol{r} = \displaystyle\frac{\sum(m_i\boldsymbol{r}_i)}{\sum m_i}

(b)「剛体の固定軸まわりの重力による力のモーメントは、その剛体の重心に全質量が全質量が存在すると仮定した質量Mの質点による力のモーメントに等しい」この定理を証明せよ。

\sum(\boldsymbol{r}_i\times m_i \boldsymbol{g}) = \sum(m_i \boldsymbol{r}_i)\times\boldsymbol{g} = \sum m_i \,\, \boldsymbol{r} \times\boldsymbol{g} = \boldsymbol{r}\times M\boldsymbol{g}

(2)剛体（質量M）について，以下の定理を証明せよ。剛体は回転軸に固定されておらず，その重心は自由に運動できるものとする。
(a)全体の運動量は，全質量に重心の速度を乗じたものである。

\sum \boldsymbol{p}_i = \sum\left(m_i \displaystyle\frac{d\boldsymbol{r}_i}{dt}\right) = \sum \displaystyle\frac{d(m_i \boldsymbol{r}_i)}{dt} = \frac{d\sum(m_i \boldsymbol{r}_i)}{dt} = \displaystyle\frac{d\sum m_i \boldsymbol{r}}{dt} = M \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}

(b)全体の運動エネルギーは，重心に全質量が集中したと仮定した場合の質量Mの（並進の）運動のエネルギーと，重心まわりの回転の運動のエネルギーの和である。

\sum\left(\displaystyle\frac{1}{2}m_i {\dot{\boldsymbol{r}}_i}^2\right) = \displaystyle\frac{1}{2}\sum \{m_i(\dot{\boldsymbol{r}}_i - \dot{\boldsymbol{r}})^2\} + \sum(m_i\dot{\boldsymbol{r}}_i\cdot\dot{\boldsymbol{r}}) - \frac{1}{2}\sum m_i\dot{\boldsymbol{r}}^2
　　 = \displaystyle\frac{1}{2}M\dot{\boldsymbol{r}}^2 + \sum \left\{\frac{1}{2}m_i(\dot{\boldsymbol{r}}_i - \dot{\boldsymbol{r}})^2\right\}

(c)全体の角運動量は，重心に全質量が集中したと仮定した場合の質点Mの原点まわりの角運動量と，重心まわりの角運動量との和である。

\sum(\boldsymbol{r}_i\times\boldsymbol{p}_i)=\sum(\boldsymbol{r}_i\times m_i\dot{\boldsymbol{r}}_i)
= \sum\left\{(\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r})\times m_i(\dot{\boldsymbol{r}}_i-\dot{\boldsymbol{r}})\right\}+\sum(m_i\boldsymbol{r}_i\times\dot{\boldsymbol{r}})+\sum(\boldsymbol{r}\times m_i\dot{\boldsymbol{r}}_i)-\sum(\boldsymbol{r}\times m_i\dot{\boldsymbol{r}})
　= \boldsymbol{r}\times M\dot{\boldsymbol{r}} + \sum\left\{(\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r})\times m_i(\dot{\boldsymbol{r}}_i-\dot{\boldsymbol{r}})\right\}
（初稿：2008/12/31）