速度の変化と速さの変化

物理のかぎしっぽ掲示板より。d\boldsymbol{v}dvの違いを見極める。


質問者の疑問の概略は以下の通り。

$$\boldsymbol{v}\cdot\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \frac{1}{2}\frac{d(v^2)}{dt}$$

右辺の時間微分を実行すると,

$$\boldsymbol{v}\cdot\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = v\frac{dv}{dt}$$

となる。これは,

$$\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{v} = v dv$$

を意味するが,2ベクトルのスカラー積がそれぞれの大きさの積になるのは両者が平行の場合に限られる。この矛盾はいったいどこからきたのか? 上の結果は恒等的に成り立つと考えてよいのか?

以下,私の回答

計算過程で不可逆な部分はありませんから,恒等的に成り立ちます。

dvの解釈が問題で,dv\ne|d\boldsymbol{v}|であることに注意してください。軌道接線方向の単位ベクトルを\boldsymbol{e}_tとすれば,

$$\boldsymbol{v} = v\boldsymbol{e}_t$$

したがって,

$$d\boldsymbol{v} = dv\boldsymbol{e}_t + v d\boldsymbol{e}_t$$

となります。一般に速度の方向変化を表す第2項はゼロでないので,

$$dv\ne|d\boldsymbol{v}|$$

ですね?

$$\boldsymbol{e}_t\cdot d\boldsymbol{e}_t = 0$$

により,

$$\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{e}_t = 0$$

したがって,

$$\boldsymbol{v}\cdot d\boldsymbol{v} = vdv$$

を得ます。dvd\boldsymbol{v}の接線成分であることを考えれば,当然の帰結です。
(初稿:2012/10/08)