栓が抜けた浴槽への注水

流体力学

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1444255384より。
排水栓が抜けている浴槽への注水時間を求めよ，というちょっと意地悪な問題。
【問題】

栓をしたまま蛇口をひねると２時間でいっぱいになる浴槽がある。栓を抜くと３時間で水は完全に排出される。この浴槽の栓をしない状態で水を入れると浴槽がいっぱいになるまでにどれだけ時間がかかるか？


【解答】

浴槽の底を原点に上向きにz軸をとり，z=hを満杯位置とする。

(1) 栓をして注水するとき

満杯になる時間 T_0=2[h]として，水位変化の速さは

\dot{z} = \displaystyle\frac{h}{T_0} = const.

(2) 満杯から排水するとき

水位変化の速さは，排水の速さvに比例するから

\alpha \dot{z} = -v \quad (\alpha>1)

とおくと，ベルヌーイの定理から

\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 = \frac{1}{2}\rho \dot{z}^2 + \rho gz

\therefore (\alpha^2-1)\dot{z}^2 = 2gz

\therefore \dot{z} = \displaystyle\frac{dz}{dt} = -\sqrt{ \displaystyle\frac{2gz}{\alpha^2-1} }

これを積分して，完全に排出される時間は

\tau = \sqrt{ \displaystyle\frac{2(\alpha^2-1)h}{g} } = 3 [h]

となる。

(3) 注排水するとき

(1)(2)の結果から，水位変化の速さは

\dot{z} = \displaystyle\frac{h}{T_0} - \sqrt{ \displaystyle\frac{2gz}{\alpha^2-1 }}

　　= \displaystyle\frac{h}{T_0} - \frac{2\sqrt{hz}}{\tau}

　　= \sqrt{h}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{h}}{2} - \frac{2\sqrt{z}}{3}\right)

z = 9h/16 で \dot{z}=0となるから この水位を超えることはできない。

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　　　　　　　　　　赤：注水　　青：排水　　緑：注排水
（初稿：2010/07/27）