排水口のある水槽への給水

流体力学

OKWave>http://okwave.jp/qa/q7966861.htmlより。
栓が抜けた浴槽への注水 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
でも同様の問題に触れたが，定常水位になるまでの時間を問う。

【問題】（改）

断面積 S の十分に深い円筒状の水槽があり，底面に面積 A の排水口が開いている。この水槽に一定の速さ Q（単位時間当たり給水体積） で給水するとき，定常水位を求めよ。また，定常水位になるまでの時間について考察せよ。ただし，重力加速度の大きさを g とし，水は粘性のない完全流体とみなるものとする。
f:id:yokkun831:20190306114120j:plain


【解答】

時間 t の後の水位を y(t) とすると，ベルヌーイの定理を用いて

S \displaystyle\frac{dy}{dt} = Q - A\sqrt{2gy}

水位が一定の定常状態では，dy/dt = 0 であるから，定常水位を y_t とおくと，

0 = Q - A\sqrt{2gy_t}

\therefore y_t = \displaystyle\frac{Q^2}{2gA^2}

これを用いると，上の微分方程式は

\displaystyle\frac{S}{A\sqrt{2g}} \frac{dy}{dt} = \sqrt{y_t} - \sqrt{y}

となる。

y が連続的に y_t に近づくと，水位変化率 dy/dt は連続的に 0 に近づく。したがって，水位が y_t になるためには，理論上無限大の時間が必要となる。実際，上の微分方程式を解こうとすると，原始関数 t(y) は求まるものの，y=0 から y=y_t までの定積分は無限大に発散する。

参考:http://csspcat8.ses.usp.ac.jp/ses/kyouin/shakei/gallery/mode0005.pdf
（初稿：2013/02/28）