水位下降速度一定のタンク形状

流体力学

４次関数y=ax^4をy軸まわりに回転させた形状のタンクの底に小孔をあけると，排水による水位下降の速度が一定になる。Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1277382782より。

【問題】

　上部が開放され、底部に小孔があり、栓がしてある容器がある。この容器は、水を満たした後、小孔の栓を外すと、水位が一定速度で下降するような形状に設計したい。このためには、水深yと水面面積S(y)の関係はどのようにしておくべきか、説明せよ。ただし、小孔から水を流出させるときの流出速度vは\sqrt{2gy}に比例するものとする。(g:重力加速度)


【解答】

小孔の面積をs，流出速度を

v = \alpha\sqrt{2gy}

また，水位の下降速度

V = -\displaystyle\frac{dy}{dt}

とする。水量の保存により

SV = sv

\therefore V = \displaystyle\frac{sv}{S} = \frac{s\alpha\sqrt{2gy}}{S} = \rm{const.}

\therefore S(y) \propto \sqrt{y}

となる。y軸まわりの回転体として設計するのであれば，

y = ax^4

を回転させた形状とすればよい。水位による水時計はこの形状につくれば，時間目盛りの間隔をほぼ一定にできるだろう。ただし，小孔が小さすぎて漏出状態になるようではいけない。
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（初稿：2011/12/15）