タンクから噴出する水の到達距離

放物運動 流体力学

水位が決められたタンクの側面に開けた穴から，水平に噴出する水の到達距離を最大にする穴の高さを求める。Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1250413607より。

【問題】

円筒形のタンクが地面の上に置かれている。このタンクの中には水が満たされており、地面から水面までの高さはhであるとする。このタンクの側壁に、地面からの高さxの位置に小孔Aをあけて水を噴出させた。重力加速度の大きさをgとする。

(1)　Aから噴出する水の速さVを,h,x,gを用いて表せ。
(2)　水が地面に達するまでのAからの水平距離Lを,h,xを用いて表せ。
(3)　水が最も遠くへ飛ぶようにするためには、高さxをいくらにすればよいか。

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https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=460&file=Dokomade.phz



【解答】

(1)

ベルヌーイの定理により

V = \sqrt{ 2g(h-x) }

(2)

落下時間 t とすると，

x = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2
\therefore t = \sqrt{\displaystyle\frac{2x}{g}}
\therefore L = Vt = 2\sqrt{ x(h-x) }

(3)

\displaystyle\frac{L^2}{4} = x(h-x) = -\left(x-\frac{h}{2}\right)^2+\frac{h^2}{4}

　※　\displaystyle\frac{dL}{dx} = \frac{h-2x}{\sqrt{ x(h-x) }}=0 としてもよい。

したがって，

x = h/2 で，最大到達距離 L=h

Algodooで単純な小球のすべりおり投射に置き換えて，到達距離を比較してみた。緑がx=h/2。
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（初稿：2010/11/15）