科学のおもちゃ箱@Hatena

回転容器から水があふれる条件

回転系慣性力流体力学

OKWave>http://okwave.jp/qa5342785.htmlの質問から。円筒形の容器を軸まわりに回転させるとき，中に入れた水があふれ出す回転数を求める問題。

【問題】
内径60cm、高さ120cmの円筒形容器に半分だけ水を入れておき、その容器を鉛直のまわりに回転させたとき、回転数がいくらになったら水があふれ始めるか。

容器の底面中心を原点に，円筒座標 $(r,\phi,z)$ をとる。問題の場合， $a=0.30$ m， $h=1.2$ mである。回転の角速度を $\omega$ とすると，容器とともに回転する座標系において， $(r,\phi,z)$ にある質量 $m$ の質点が受ける力は，

$\boldsymbol{F} = m(r\omega^2\boldsymbol{e}_r - g\boldsymbol{e}_z)$

である。したがって， $(r,\phi,z)$ における遠心力を含む有効ポテンシャルエネルギーは，

$U = mgz - \displaystyle\frac{1}{2}mr^2\omega^2$

となる。等ポテンシャル面が水面になるから，水面は，

$z = \displaystyle\frac{\omega^2}{2g}r^2 + \frac{U}{mg}$

で表される放物面になる。これを水面とするとき，水の体積は

$V = \displaystyle\int_0^a 2\pi rz dr = \frac{\pi a^2}{g}\left(\frac{\omega^2}{4}a^2 + \frac{U}{m}\right)$

これが，もともと容器の容積の半分であったから，

$V = \displaystyle\frac{1}{2}\pi a^2h$

したがって，水面上のポテンシャルエネルギーの値として

$U = \displaystyle\frac{1}{2}mgh - \frac{m\omega^2}{4}a^2$

を得る。これを用いてあらためて放物面の方程式を書けば，

$z(r) = \displaystyle\frac{\omega^2}{4g}(2r^2 - a^2)+\frac{1}{2}h$

$z(a) = h = 4a$ から，

$\omega = 2\sqrt{\displaystyle\frac{2g}{a}}$

を得る。求める回転数は，

$60\cdot \displaystyle\frac{\omega}{2\pi} = \displaystyle\frac{60}{\pi}\sqrt{\frac{2g}{a}} = 154$ [rpm]

となる。

２人目の回答者の説明も本質的には同様の内容ではあるが，初歩的でエレガントといえるだろう。
すなわち，水面の形状 $z=z(r)$ に対して

$\displaystyle\frac{dz}{dr}=\frac{r\omega^2}{g}$

したがって，放物面の方程式として

$z(r) = \displaystyle\frac{\omega^2}{2g}r^2 + z_0$

を得る。すると，これを水面とする水の体積は

$V = \displaystyle\int_0^a 2\pi rz dr = \frac{\pi a^2}{g}\left(\frac{\omega^2}{4}a^2+gz_0\right)$

一方，

$V=\displaystyle\frac{1}{2}\pi a^2 h$

だから，

$z_0 = \displaystyle\frac{1}{2}h - \frac{\omega^2}{4g}a^2$

したがって，

$z(r) = \displaystyle\frac{\omega^2}{4g}(2r^2 - a^2)+\frac{1}{2}h$

以下同様である。
（初稿：2009/10/05）