鉛直面内円運動から放物運動への移行

「Yahoo!知恵袋」でみつけた問題
長さ $l$ の糸につるされた単振子において、糸がゆるんで放物運動になった後に円の中心を通るのは、最低点における速さ $v_0$ がいくらのときか？また、糸がゆるむのは鉛直下方から測っておよそ何度の位置か？
（出典：学術図書出版社『力学への道』第２章の演習問題１８）
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　　※Algodooで糸は面倒なので、円筒面とした。

【解答】

離れるときの中心角を $\theta$ 、そのときの速さを $v$ とおくと、エネルギー保存により
$\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 - mgl\cos\theta = \frac{1}{2}m{v_0}^2 - mgl$
$\therefore v^2 = {v_0}^2-2gl(1-\cos\theta)$
張力を $T$ として、運動方程式
$\displaystyle\frac{ｍv^2}{l} = -mg\cos\theta + T$
２式より
$T = m\{{v_0}^2-gl(2-3\cos\theta)\}/l = 0$

すなわち $T=0$ なって糸がゆるみ、円運動から離れる角 $\theta$ は

${v_0}^2 = gl(2-3\cos\theta)$
より
$\cos\theta = \displaystyle\frac{2}{3}\left(1 - \frac{{v_0}^2}{2gl}\right)$

この後が問題である。離れるときの速さ $v$ に対して
$v^2 = ({v_0}^2-2gl)/3 = -gl\cos\theta$
糸がゆるんだ小球が中心を通る条件より
$\cos\theta = - \displaystyle\frac{v^2}{gl} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\therefore \theta\simeq 125°$
最低点での速さ $v_0$ は
${v_0}^2 = (2+\sqrt{3})gl \simeq 3.73gl$
となる、というのがテキストの展開。質問者は $\theta$ を求める段になって追跡不能に陥ったわけだ。