2球を入れた円筒の安定

2球を入れた円筒が倒れないための円筒の最小質量を求める。Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail.php?qid=1165173351より。
【問題】
半径 b=0.30 m の円筒の中に、半径 r=0.20 m 質量 M=50 kg の球を2個入れる。球の重みで円筒が倒れないために必要な円筒の最小質量を求めよ。ただし,円筒の厚みおよび一切の摩擦は無視できるものとする。
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【解答】
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2球の中心を結ぶ直線が水平面となす角を \theta とすると,

$$\cos\theta = \frac{b-r}{r} = \frac{1}{2}$$

したがって,\theta = 60°である。円筒の側面が2球から受ける垂直抗力は,2球が受ける力のつりあいを考察すると,いずれも等しく

$$N = \frac{Mg}{\sqrt3}$$

である。求める円筒の最小質量を m とする。円筒が倒れる限界において回転軸となる右下端まわりの力のモーメントのつりあいにより,

$$mg\times b + \frac{Mg}{\sqrt3}\times r = \frac{Mg}{\sqrt3}\times(1+\sqrt3)r$$

$$\therefore m = \frac{r}{b}M = \frac{2}{3}M = 33{\rm [kg]}$$

を得る。
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左:円筒質量34kgでほぼ安定の限界   右:30kgの設定で倒れるシーン

(初稿:2011/06/25)