中心力 -kr を受ける質点の運動

中心力場

距離に比例する復元力を中心力として受ける質点の軌道運動。


位置\boldsymbol{r}において，中心力-k\boldsymbol{r}を受ける質量mの質点の運動を考察する。
とりあえず，r=r(t)を求める。

平面極座標により，\boldsymbol{r}=(r,\phi)とする。

運動方程式の方位角成分より
r^2\dot{\phi} = h = \rm{const.}
（角運動量保存）
すなわち，
\dot{\phi} = \displaystyle\frac{h}{r^2}

エネルギー保存により，
E = \displaystyle\frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}kr^2 + \frac{mh^2}{2r^2}

\therefore \dot{r}^2 = \displaystyle\frac{2E}{m} - \omega^2r^2 - \frac{h^2}{r^2}　 ,　 \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

r^2 = u とおくと，
\dot{r} = \displaystyle\frac{\dot{u}}{2\sqrt{u}}

上式に代入，整理すると
\dot{u}^2 = 4\omega^2 \{ B^2 - (u - A)^2 \}\quad , \quad A = \displaystyle\frac{E}{m\omega^2}\quad , \quad B^2 = A^2 - \frac{h^2}{\omega^2}

ここで z = u-A とおくと
\dot{z}^2 = 4\omega^2(B^2 - z^2)
\therefore \dot{z} = \displaystyle\frac{dz}{dt} = 2\omega\sqrt{B^2 - z^2}

すなわち，
\displaystyle\frac{dz}{\sqrt{B^2 - z^2}} = 2\omega dt

z = B \sin\theta とおいて積分すると，

\theta = 2\omega t + \alpha

\therefore z = B \sin(2\omega t + \alpha)\quad \therefore u = A + B \sin(2\omega t + \alpha)

したがって，

r = \sqrt{A + B \sin(2\omega t + \alpha) }\quad , \quad A=\displaystyle\frac{E}{m\omega^2}\quad , \quad B=\sqrt{A^2-\left(\frac{h}{\omega}\right)^2}\quad , \quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}

を得る。積分の過程は，やや遠回りになっているかもしれない。
（初稿：2010/07/15）