中心力 -kr を受ける質点の運動(続き)

デカルト座標で計算しなおしてみた。


r=r(t)の関数形を求めるため,ということで極座標でせめてみたが,ようするに距離に比例する復元力なのだから,デカルト座標運動方程式を書くと,

$$\ddot{x}=-\omega^2x$$
$$\ddot{y}=-\omega^2y$$

となり,いずれも同じ振動数をもつ単振動に他ならない。

初期条件を,

$$t=0\quad:\quad r=x=a\quad,\quad y=0,\quad \dot{x}=0\quad , \quad\dot{y}=b\omega$$

ととれば,

$$x=a\cos\omega t$$
$$y=b\sin\omega t$$

となり,これが楕円軌道を意味することは明らかである。r(t)を計算してみると,

$$r = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{a^2\cos^2\omega t + b^2\sin^2\omega t}$$
  $$ = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a^2-b^2}{2}\cos 2\omega t}$$

を得る。前の結果と比較すると,

$$A = \frac{a^2+b^2}{2} = \frac{E}{m\omega^2}$$
$$B = \frac{a^2-b^2}{2} = \sqrt{A^2-\left(\frac{h}{\omega}\right)^2}$$

となる。また,

$$\tan\phi = \frac{y}{x} = \frac{b}{a}\tan\omega t$$

により,

$$\cos 2\omega t = \frac{b^2-a^2\tan^2\phi}{b^2+a^2\tan^2\phi} = \frac{A-B-(A+B)\tan^2\phi}{A-B+(A+B)\tan^2\phi}$$

したがって,軌道の極座標形式は

$$r(\phi) = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a^2-b^2}{2}\cdot\frac{b^2-a^2\tan^2\phi}{b^2+a^2\tan^2\phi}} = \sqrt{A+B\cdot\frac{A-B-(A+B)\tan^2\phi}{A-B+(A+B)\tan^2\phi}}$$

となる。
(初稿:2010/07/15)