中心力 -kr を受ける質点の運動（続き）

デカルト座標で計算しなおしてみた。

$r=r(t)$ の関数形を求めるため，ということで極座標でせめてみたが，ようするに距離に比例する復元力なのだから，デカルト座標で運動方程式を書くと，

$\ddot{x}=-\omega^2x$
$\ddot{y}=-\omega^2y$

となり，いずれも同じ振動数をもつ単振動に他ならない。

初期条件を，

$t=0\quad:\quad r=x=a\quad,\quad y=0,\quad \dot{x}=0\quad , \quad\dot{y}=b\omega$

ととれば，

$x=a\cos\omega t$
$y=b\sin\omega t$

となり，これが楕円軌道を意味することは明らかである。 $r(t)$ を計算してみると，

$r = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{a^2\cos^2\omega t + b^2\sin^2\omega t}$
　　 $= \sqrt{\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a^2-b^2}{2}\cos 2\omega t}$

を得る。前の結果と比較すると，

$A = \displaystyle\frac{a^2+b^2}{2} = \frac{E}{m\omega^2}$
$B = \displaystyle\frac{a^2-b^2}{2} = \sqrt{A^2-\left(\frac{h}{\omega}\right)^2}$

となる。また，

$\tan\phi = \displaystyle\frac{y}{x} = \frac{b}{a}\tan\omega t$

により，

$\cos 2\omega t = \displaystyle\frac{b^2-a^2\tan^2\phi}{b^2+a^2\tan^2\phi} = \frac{A-B-(A+B)\tan^2\phi}{A-B+(A+B)\tan^2\phi}$

したがって，軌道の極座標形式は

$r(\phi) = \sqrt{\displaystyle\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a^2-b^2}{2}\cdot\frac{b^2-a^2\tan^2\phi}{b^2+a^2\tan^2\phi}} = \sqrt{A+B\cdot\displaystyle\frac{A-B-(A+B)\tan^2\phi}{A-B+(A+B)\tan^2\phi}}$

となる。

中心力 -kr を受ける質点の運動（おまけ） - 科学のおもちゃ箱@Hatena へ続く。

（初稿：2010/07/15）