階段をはずんでおりる小球

放物運動 衝突・運動量保存

青学'07入試問題より。出典は数値計算だが，一般化した。
【問題】
ステップの高さが H，幅が D の階段がある。最上段の適当な位置からボールを斜め上方に投げ出して，各ステップの同じ位置を，はずみながら降りていくようにしたい。投げ出す水平速度成分の大きさを u，重力加速度の大きさを g とし，ステップの摩擦は無視できるものとする。

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(1) 初速度の鉛直成分の大きさ v を求めよ。また，許される u の範囲を求めよ。

(2) この運動が実現するためのステップとボールの間のはねかえり係数 e を求めよ。

※　Algodoo の設定は，H=9.8 [m], D=4.0 [m], u=2.0 [m/s] で，出典問題の数値に合わせた。

【解答】
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※　これは，u=1.0 [m/s] の場合

(1)

１段降りる時間を t とおくと，

D = ut

-H = vt-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2

両式から t を消去して v について解けば，

v = \displaystyle\frac{gD^2 - 2u^2H}{2uD}

を得る。また，v>0 でなければならないから，

gD^2 - 2u^2H \gt 0

すなわち

0 \lt u \lt D\sqrt{\displaystyle\frac{g}{2H}}

(2)

ステップに衝突する直前の鉛直速度成分の大きさを v^\prime とすると，

-v^\prime = v - gt

v = ev^\prime

v^\prime を消去して，(1)の結果を用いれば，

e = \displaystyle\frac{gD^2 - 2u^2H}{gD^2 + 2u^2H}

を得る。

Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=260&file=Aogaku07.phz

（初稿：2009/12/17）