木をこえる最小投射速度

放物運動

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1299104342 より。木のてっぺんを超えるための最小投射速度と投射角を求める。
【問題】
ある地点から見て仰角 \theta 、高さ h の木の頂上を越えるように小石を投げ上げたい。このとき必要となる初速の最低値を求めよ。また、投射角（投げ上げる角度）\alpha を求めよ。なお空気の抵抗は無視できるものとする。
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【解答】木をこえる最小投射速度

投射点を原点に，木への水平方向へ x 軸，鉛直上方へ y 軸をとる。
投射角 \alpha に対する軌道は

y = x \tan\alpha - \displaystyle\frac{gx^2}{2{v_0}^2\cos^2\alpha}

{v_0}^2 について解くと

{v_0}^2 = \displaystyle\frac{gx^2}{ 2\cos^2\alpha(x \tan\alpha - y) }

x = h/\tan\theta，y = h に対して v_0 が最小となるような投射角 \alpha を求める。

{v_0}^2 = \displaystyle\frac{gh}{ 2\tan\theta\cos^2\alpha(\tan\alpha-\tan\theta) }

ここで，

f(\alpha) = \cos^2\alpha(\tan\alpha-\tan\theta)

とおいて，これが最大値をとる \alpha を求めれば題意を満たす。
\alpha で微分して0とおくと

\tan\alpha=\displaystyle\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}

を得る。

このとき，

v_0 = \sqrt{\displaystyle\frac{(1+\sin\theta)gh}{\sin\theta}}

となる。

下図はAlgodooによるシミュレーションで，θ=30°，45°，60°のそれぞれについて最小速度での投射をシミュレートしたものである。
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Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=602&file=Houbutsu-mondai.phz

（初稿：2012/12/24）