木をこえる最小投射速度

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1299104342 より。木のてっぺんを超えるための最小投射速度と投射角を求める。
【問題】
ある地点から見て仰角 \theta 、高さ h の木の頂上を越えるように小石を投げ上げたい。このとき必要となる初速の最低値を求めよ。また、投射角(投げ上げる角度)\alpha を求めよ。なお空気の抵抗は無視できるものとする。
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【解答】木をこえる最小投射速度

投射点を原点に,木への水平方向へ x 軸,鉛直上方へ y 軸をとる。
投射角 \alpha に対する軌道は

$$y = x \tan\alpha - \frac{gx^2}{2{v_0}^2\cos^2\alpha}$$

{v_0}^2 について解くと

$${v_0}^2 = \frac{gx^2}{ 2\cos^2\alpha(x \tan\alpha - y) }$$

x = h/\tan\thetaθy = h に対して v_0 が最小となるような投射角 \alpha を求める。

$${v_0}^2 = \frac{gh}{ 2\tan\theta\cos^2\alpha(\tan\alpha-\tan\theta) }$$

ここで,

$$f(\alpha) = \cos^2\alpha(\tan\alpha-\tan\theta)$$

とおいて,これが最大値をとる \alpha を求めれば題意を満たす。
\alpha微分して0とおくと

$$\tan\alpha=\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}$$

を得る。

このとき,

$$v_0 = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)gh}{\sin\theta}}$$

となる。

下図はAlgodooによるシミュレーションで,θ=30°,45°,60°のそれぞれについて最小速度での投射をシミュレートしたものである。
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Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=602&file=Houbutsu-mondai.phz

(初稿:2012/12/24)