回転する一様帯電球がつくる磁場

電磁気

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1398371148 より。一様に帯電した球が中心軸周りに等速回転するとき，その中心に生じる磁場を求める。
【問題】
一定の体積電荷密度\rhoを持つ半径Rの球がある。これが球の中心を通る軸のまわりに角速度\omegaで剛体球として回転するとき、球の中心における磁場を決定せよ。


【解答】

中心を原点，回転軸をz軸とする球座標をとる。
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円電流Iが中心軸上につくる磁場は，ビオ・サバールの法則により

d\boldsymbol{H} = \displaystyle\frac{Id\boldsymbol{l}\times(-\boldsymbol{r})}{4\pi r^3}

これを\boldsymbol{r}を通る円電流要素

I = \rho r\sin\theta\cdot\omega dr\cdot rd\theta

\therefore Idl = \rho \omega r^3\sin^2\theta\cdot drd\theta d\phi

に適用する。求める磁場は対称性によりz方向であるからz成分をとって，\phiについて積分すると

dH_z = \displaystyle\frac{\rho\omega}{2} r \sin^3\theta \cdot drd\theta

これを，r = [0,R] , \theta = [0,\pi]にわたって積分すると

H_z = \displaystyle\frac{\rho\omega}{2} \int_0^R dr \int_0^\pi d\theta (r\sin^3\theta) = \frac{1}{3}\rho\omega R^2

を得る。

参考：http://www.setsunan.ac.jp/lw/lecture/Emprblm/emprblm01pa.pdf

（初稿：2012/12/09）