直線2連振子のエネルギー(3)

引き続いて直線2連振子の運動方程式を立ててみる。おもりが棒から受ける力(エネルギー移動の主役)を考慮した立式にも挑戦。


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まずラグランジュ方程式を立ててみる。ラグランジアンは,

$$L = \frac{1}{2}m_1{h_1}^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{2}m_2{h_2}^2{\dot{\theta}}^2 + m_1gh_1\cos\theta + m_2gh_2\cos\theta$$

微分すると,

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = (m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2)\dot{\theta}$$

$$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -(m_1h_1 + m_2h_2)g\sin\theta$$

したがって,運動方程式

$$\ddot{\theta} = -\frac{m_1h_1 + m_2h_2}{m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2}g\sin\theta$$

となる。実は全体の慣性モーメント

$$I_a = m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2$$

を用いて回転の運動方程式を立てればそれですむことであった。

一方,図のようにおもりが棒から受ける力(束縛力)f_1,f_2を考慮して,個別に接線方向の運動方程式を立てると,

$$m_1h_1\ddot{\theta} = -m_1g\sin\theta - f_1$$

$$m_2h_2\ddot{\theta} = -m_2g\sin\theta + f_2$$

棒の質量は無視するのだから,棒が単独で受けるトルクはゼロでなければならない。これが,いわゆる束縛条件となる。すなわち,

$$f_1h_1 = f_2h_2$$

上2式よりf_2を消去し,連立させてf_1も消去すれば

$$\ddot{\theta} = -\frac{m_1h_1 + m_2h_2}{m_1{h_1}^2 + m_2{h_2}^2}g\sin\theta$$

を得る。下図はPOLYMATHによる数値積分とAgodooシミュレーションによる角速度の時間変化のグラフである。
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(初稿:2012/12/06)