流星群の衝突

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1091929910 より。万有引力(中心力)下の運動に関する基本的な問題である。
【問題】
地球中心を原点としてある方向にx軸をとる。無限遠から十分広範囲に分布した隕石群が-x方向に速さv_0で接近してくるとする。これらの隕石群のうち地球に落下する範囲をx軸からの距離で答えよ。ただし,地球質量をM,地球半径をR万有引力定数をGとし,隕石相互や他の天体による引力は考えないものとする。
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横一列で地球に接近する流星群


【解答】
無限遠においてx軸との距離bをもつ質量mの隕石について考える。bはいわゆる衝突パラメータである。地球への最接近距離(近地点距離)をr,最接近時の速さをVとする。

角運動量保存により

$$b v_0 = r V$$

エネルギー保存により

$$\frac{1}{2}m{v_0}^2 = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{r}$$

2式からVを消去して

$$b = \sqrt{r^2 + \frac{2GMr}{{v_0}^2}}$$

を得る。したがって,落下する隕石の範囲は

$$b \le \sqrt{R^2 + \frac{2GMR}{{v_0}^2}}$$

となる。
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Algodooによるシミュレーション(地球にキラー設定し,落下した隕石の軌跡を消去した)
Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=579&file=Swarm.phz

(初稿:2012/08/08)