多質点系の運動エネルギー

いずれ一般論を展開したいが、ひとまず3質点系の運動エネルギーは
$$T = \frac{1}{2} M{V_{\rm G}}^2 + \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{M}{V_{12}}^2 + \frac{1}{2}\frac{m_2m_3}{M}{V_{23}}^2 + \frac{1}{2}\frac{m_3m_1}{M}{V_{31}}^2 $$
  ただし、M=m_1+m_2+m_3, \boldsymbol{V}_{\rm G}=\displaystyle\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}_1}+m_2\dot{\boldsymbol{r}_2}+m_3\dot{\boldsymbol{r}_3}}{M}
      \boldsymbol{V}_{ij} = \dot{\boldsymbol{r}_i} - \dot{\boldsymbol{r}_j}

に相違ないことを確認する。

$$T = \frac{1}{2} M\left(\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}_1}+m_2\dot{\boldsymbol{r}_2}+m_3\dot{\boldsymbol{r}_3}}{M}\right)^2 + \frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{M}(\dot{\boldsymbol{r}_1} - \dot{\boldsymbol{r}_2})^2+\frac{1}{2}\frac{m_2m_3}{M}(\dot{\boldsymbol{r}_2} - \dot{\boldsymbol{r}_3})^2+\frac{1}{2}\frac{m_3m_1}{M}(\dot{\boldsymbol{r}_3} - \dot{\boldsymbol{r}_1})^2$$
$$= \frac{1}{2M}({m_1}^2{\dot{r}_1}^2+{m_2}^2{\dot{r}_2}^2+{m_3}^2{\dot{r}_3}^2+2m_1m_2\dot{\boldsymbol{r}_1}\cdot\dot{\boldsymbol{r}_2}+2m_2m_3\dot{\boldsymbol{r}_2}\cdot\dot{\boldsymbol{r}_3}+2m_3m_1\dot{\boldsymbol{r}_3}\cdot\dot{\boldsymbol{r}_1}$$
$$ + m_1m_2{\dot{\boldsymbol{r}_1}}^2 - 2m_1m_2\dot{\boldsymbol{r}_1}\cdot\dot{\boldsymbol{r}_2} + m_1m_2{\dot{\boldsymbol{r}_2}}^2+ m_2m_3{\dot{\boldsymbol{r}_2}}^2 - 2m_2m_3\dot{\boldsymbol{r}_2}\cdot\dot{\boldsymbol{r}_3} + m_2m_3{\dot{\boldsymbol{r}_3}}^2$$
$$+ m_3m_1{\dot{\boldsymbol{r}_3}}^2 - 2m_3m_1\dot{\boldsymbol{r}_3}\cdot\dot{\boldsymbol{r}_1} + m_3m_1{\dot{\boldsymbol{r}_1}}^2)$$
$$= \frac{1}{2M}\{(m_1+m_2+m_3)m_1{\dot{\boldsymbol{r}_1}}^2+(m_1+m_2+m_3)m_2{\dot{\boldsymbol{r}_2}}^2+(m_1+m_2+m_3)m_3{\dot{\boldsymbol{r}_3}}^2\}$$
=\displaystyle\frac{1}{2}m_1{\dot{\boldsymbol{r}_1}}^2 + \frac{1}{2}m_2{\dot{\boldsymbol{r}_2}}^2 + \frac{1}{2}m_3{\dot{\boldsymbol{r}_3}}^2